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Equations différentielles linéaires: Classes MP/MP*

Sadik Boujaida

Chapitre 3 Exercices

Exercice 3.1.

Déterminer les solutions développables en série entière de l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : xy'' + y' + y = 0. \end{equation*}

(a)

Déterminer les solutions développables en série entière de l’équation différentielle \((\mathcal{H})\text{.}\)
Solution.
Soit \((a_n)_n \in \mathbb{N}\) une suite réelle pour laquelle le rayon de convergence \(R\) de la série entière \(\sum a_n x^n\) est strictement positif. On note \(S\) la somme de cette série entière sur \(]-R, R[\text{.}\) C’est une fonction indéfiniment dérivable et \(S\) est solution, sur \(]-R, R[\text{,}\) de l’équation \((\mathcal{H})\) si et seulement si
\begin{equation*} \forall x \in ]-R, R[, \sum_{n=1}^{+\infty} n(n-1)a_n x^{n-1} + \sum_{n=1}^{+\infty} na_n x^{n-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0 \end{equation*}
\begin{equation*} \Leftrightarrow \forall x \in ]-R, R[, \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)^{2} a_{n+1} x^n + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0 \end{equation*}
et par unicité du développement en série entière cela équivaut à ce que pour tout \(n \in \mathbb{N}\text{,}\) \(a_{n+1} = -\frac{a_n}{((n+1)!)^2}\text{.}\)
Conclusion \(S\) est solution, sur \(]-R, R[\text{,}\) de l’équation \((\mathcal{H})\) si et seulement si pour tout \(n \in \mathbb{N}\text{,}\) \(a_n = a_0 \frac{(-1)^n}{(n!)^2}\text{.}\) Il reste à constater que le rayon de convergence de la série entière ainsi obtenue est égal à \(+\infty\) car \(a_n = \frac{O}{n \rightarrow +\infty} (\frac{1}{n!})\text{.}\)

(b)

On note \(f\) la solution DSE qui vérifie \(f(0) = 1\) et on pose
\begin{equation*} g(x) = xf^{\prime 2}(x) + f^{2}(x). \end{equation*}
Étudier le sens de variation de \(g\) et en déduire que \(g\) possède une limite finie en \(+\infty\text{.}\)
Solution.
On a donc, pour tout réel \(x\text{,}\) \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(n!)^2} x^n\text{.}\)
La fonction \(g\) est évidemment dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\text{,}\)
\begin{equation*} g^{\prime}(x) = f^{\prime 2}(x) + 2xf^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)f(x) = -f^{\prime 2}(x) \leq 0 \end{equation*}
de sorte que \(g\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\text{.}\)
Comme elle est minorée par 0 sur \(\mathbb{R}_+\text{,}\) elle possède une limite finie \(\ell \geq 0\) en \(+\infty\text{.}\)

(c)

En déduire que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}_+\) et que \(f^{\prime}(x) \underset{x\rightarrow+\infty}{\rightarrow} 0\text{.}\)
Solution.
Pour tout réel \(x \geq 0\text{,}\) \(f^2(x) \leq g(x) \leq g(0)\text{,}\)
on peut en déduire que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) De même,
\begin{equation*} \forall x\gt 0, \quad f'^2(x) \leq \frac{g(0)}{x} \end{equation*}
donc \(f'(x) \underset{x \to +\infty}{\to} 0\text{.}\)

Exercice 3.2. zéros d’une solution d’une équation différentielle linéaire homogène du second ordre..

Soient \(I\) intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(p, q \in \mathcal{C}^0 (I, \mathbb{R})\text{.}\) On considère l’équation
\begin{equation*} (\mathcal{L}) : y'' + py' + qy = 0 \end{equation*}
Soit \(f\) une solution sur \(I\) réelle et non identiquement nulle de \((\mathcal{L})\text{.}\)

(a)

On suppose qu’il existe deux réels \(a, b\) tels que \(a\lt b\) et \(f(a) = f(b) = 0\text{.}\) Démontrer que l’ensemble
\begin{equation*} Z = \{ x \in [a, b] \mid f(x) = 0 \} \end{equation*}
est un ensemble fini.
Solution.
Supposons au contraire que \(Z\) soit infini : il contient alors une suite \((x_n)_n \in \mathbb{N}\) formée de réels deux à deux distincts. Quitte à extraire une sous-suite convenable on peut supposer que \((x_n)_n \in \mathbb{N}\) converge vers \(\ell \in [a, b]\text{.}\)
En tenant compte de la continuité de \(f\text{,}\) on voit que \(f(\ell) = 0\text{.}\) De plus, par application du théorème de Rolle, pour tout \(n \in \mathbb{N}\text{,}\) il existe \(c_n \in [x_n, x_{n+1}]\) tel que \(f'(c_n) = 0\text{.}\)
On en déduit que \((c_n)_n \in \mathbb{N}\) converge vers \(\ell\text{,}\) puis par continuité de \(f'\text{,}\) on obtient \(f'(\ell) = 0\text{.}\)
Conclusion comme \(f(\ell) = f'(\ell) = 0\text{,}\) le théorème de Cauchy-Lipschitz montre que \(f\) est identiquement nulle sur \(I\text{,}\) ce qui a été exclu. L’ensemble \(Z\) est donc fini.

(b)

En déduire que l’ensemble des zéros de \(f\) est un ensemble au plus dénombrable.
Solution.
On peut écrire \(I\) comme l’union d’une suite \((S_n)_n \in \mathbb{N}\) de segments.
D’après la question précédente, l’ensemble \(Z_n = \{ x \in S_n \mid f(x) = 0 \}\) est fini, par conséquent l’ensemble des zéros de \(f\) est fini ou dénombrable.

Exercice 3.3.

Soient \(m\) un réel strictement positif, \(q \in \mathcal{C}^0 (\mathbb{R}_+, \mathbb{R})\) telle que pour tout réel \(t \geq 0\text{,}\) \(q(t) \geq m\text{.}\) On considère l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}
Soit \(f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}\) une solution non identiquement nulle de \((\mathcal{H})\text{.}\)

(a)

Expliquer pourquoi on aura pour tout réel \(t \geq 0\text{,}\) \(f(t) + if'(t) \neq 0\text{.}\)
Solution.
D’après le théorème de Cauchy-Lipschitz, comme \(f\) n’est pas identiquement nulle, pour tout réel \(t\text{,}\) \((f(t), f'(t)) \neq (0, 0)\text{.}\)

(b)

On admet qu’il existe alors deux fonctions \(\rho : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+\) et \(\theta : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}\) toutes deux de classe \(\mathcal{C}^1\) et telles que
\begin{equation*} f + if' = \rho \exp(i\theta). \end{equation*}
  1. Exprimer \(\theta'\) en fonction de \(q\) et de \(\theta\text{.}\)
  2. En déduire que \(\theta\) est une bijection \(\mathcal{C}^1\) de \(\mathbb{R}_+\) sur \(\theta(\mathbb{R}_+)\text{.}\)
  3. Conclure que \(f\) possède une infinité de zéros.
Solution.
On a donc \(f = \rho \cos \theta\) et \(f' = \rho \sin \theta\)
d’où \(f'' = \rho' \sin \theta + \theta' \cos \theta\text{,}\)
de plus, \(\rho \sin \theta = f' = (\rho \cos \theta)' = \rho' \cos \theta - \rho \theta' \sin \theta\text{,}\)
d’où le système d’équations
\begin{equation*} \begin{cases} \rho' \cos \theta - \rho \theta' \sin \theta = \rho \sin \theta \\ \rho' \sin \theta + \rho \theta' \cos \theta = -\rho \cos \theta. \end{cases} \end{equation*}
En résolvant à l’aide des formules de Cramer
\begin{equation*} \theta' = \rho \left| \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\rho \sin \theta}{-\rho \cos \theta} \right| = -(\rho \cos^2 \theta + \sin^2 \theta). \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{vmatrix} \cos \theta\amp -\rho \sin \theta \\ \sin \theta\amp \rho \cos \theta \end{vmatrix} \end{equation*}
Or \(q \geq m\gt 0\text{,}\) donc \(-\theta' \geq m \cos^2 \theta + \sin^2 \theta\) et de plus la fonction
\begin{equation*} F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto m \cos^2 x + \sin^2 x \end{equation*}
est continue, \(\pi\)-périodique et strictement positive.
On en déduit que \(\inf_{x \in \mathbb{R}} F(x) = \min_{x \in \mathbb{R}} F(x) = \mu\gt 0\text{.}\)
Conclusion \(\theta' \leq -\mu\lt 0\text{,}\) donc \(\theta\) est une bijection \(\mathcal{C}^1\) décroissante de \(\mathbb{R}_+\) sur \(\theta(\mathbb{R}_+)\text{.}\)
De plus, pour tout réel \(t\gt 0\text{,}\)
\begin{equation*} \theta(t) = \theta(0) + \int_0^t \theta'(s) ds \leq \theta(0) - \mu t \end{equation*}
donc \(\theta(t) \underset{t \rightarrow +\infty}{\rightarrow} -\infty\) et donc \(\theta(\mathbb{R}_+) =] -\infty, \theta(0)]\text{.}\)
Pour tout entier \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(\frac{(2k+1)\pi}{2} \leq \theta(0)\text{,}\) il existe un unique réel \(t_k \geq 0\) tel que \(\frac{(2k+1)\pi}{2} = \theta(t_k)\text{.}\) On a alors \(f(t_k) = 0\text{.}\)
Conclusion \(f\) possède une infinité de zéros dans \(\mathbb{R}_+\text{.}\)

Exercice 3.4.

Soient \(q \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) et \(a\gt 0\) tels que
\begin{equation*} \forall x \geq a, \quad q(x)\gt 0 \quad \text{et} \quad q'(x) \geq 0. \end{equation*}
Démontrer que toute solution de l’équation \(y'' + qy = 0\) est bornée au voisinage de \(+\infty\text{.}\)
Indication : considérer la fonction \(z = y^2 + \frac{y'^2}{q}\text{.}\)
Démontrer que toute solution de l’équation \(y'' + qy = 0\) est bornée au voisinage de \(+\infty\text{.}\)
Solution.
Comme indiqué, on considère la fonction \(z = y^2 + \frac{y'^2}{q}\text{.}\)
Elle est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et
\begin{equation*} z' = 2yy' + \frac{2y'y''q - q'y'^2}{q^2} = 2y'(y + \frac{y''}{q}) - \frac{q'}{q^2}y'^2 = -\frac{q'}{q^2}y'^2. \end{equation*}
On en déduit que \(z' \leq 0\) sur \([a, +\infty]\text{,}\) donc \(z\) est décroissante sur cet intervalle. Conclusion \(z\) est majorée par \(z(a)\) sur \([a, +\infty]\) donc \(|y|\) est majorée par \(\sqrt{z(a)}\) sur \([a, +\infty]\text{.}\)

Exercice 3.5.

Soit \(p : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue et \(y : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que
\begin{equation*} \forall x \in \mathbb{R}, \, y''(x) + p(x)y'(x) - y(x) = 0 \quad (1) \end{equation*}
On suppose qu’il existe deux réels \(a, b\) tels que \(a \lt b, \, y(a) = y(b) = 0\text{.}\) Démontrer que \(y = 0\text{.}\)
Indication : si \(y\) n’est pas la fonction nulle, on utilisera l’exercice 7.2 p. 458 pour se ramener au cas où \(y\) ne s’annule pas sur \([a, b]\text{.}\)
Démontrer que \(y = 0\text{.}\)
Solution.
Si \(y\) n’est pas identiquement nulle, l’exercice 7.2 montre que l’on peut se ramener au cas où \(y\) s’annule en \(a\text{,}\) en \(b\) et où \(y\) ne s’annule pas sur \([a, b]\text{.}\) De plus, grâce au théorème des valeurs intermédiaires, \(y\) est de signe constant sur \([a, b]\) et quitte à changer \(y\) en son opposée, on peut supposer \(y \gt 0\) sur \([a, b]\text{.}\) En notant \(P\) une primitive de \(p\) et en multipliant (1) par \(\exp(P)\text{,}\) on obtient
\begin{equation*} \forall x \in \mathbb{R}, \, \frac{d}{dx} (\exp(P(x)) \cdot y'(x)) = y(x) \exp(P(x)), \end{equation*}
puis en intégrant entre \(a\) et \(b\text{,}\)
\begin{equation*} \exp(P(b)) \cdot y'(b) - \exp(P(a)) \cdot y'(a) = \int_a^b y(x) \exp(P(x)) dx \gt 0. \end{equation*}
Enfin, \(y'(a) \geq 0\) et même \(y'(a) \gt 0\) (car si \(y'(a) = 0 = y(a)\text{,}\) il résulte du théorème de Cauchy-Lipschitz que l’on aurait \(y = 0\) sur \(\mathbb{R}\text{,}\) ce qui n’est pas le cas). De même, \(y'(b) \lt 0\text{.}\)
Conclusion \(\exp(P(b)) \cdot y'(b) - \exp(P(a)) \cdot y'(a) \lt 0\) alors que \(\int_a^b y(x) \exp(P(x)) dx \gt 0\text{,}\) d’où une contradiction. On en déduit que \(y\) est identiquement nulle sur \([a, b]\text{.}\) En particulier \(y'(a) = 0 = y(a)\text{,}\) donc \(y\) est identiquement nulle sur \(\mathbb{R}\text{.}\)

Exercice 3.6.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Soit \(y : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}\) une solution sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) bornée.
  1. Démontrer que \(y'\) possède une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\text{.}\)
  2. Démontrer que nécessairement \(\ell = 0\text{.}\)
Solution.
Soit \(y : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}\) une solution sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) bornée.
  1. La fonction \(y'' = -qy\) est le produit d’une fonction intégrable et d’une fonction bornée sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) Elle est donc, elle aussi, intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On en déduit que
    \begin{equation*} y'(x) = y'(0) - \int_0^x q(t)y(t)dt \underset{x\rightarrow+\infty}{\rightarrow} y'(0) - \int_0^{+\infty} q(t)y(t)dt = \ell. \end{equation*}
  2. Supposons par exemple \(\ell \gt 0\text{.}\) Dans ce cas \(y'\) est positive au voisinage de \(+\infty\) et par intégration des relations de comparaison on obtiendrait
    \begin{equation*} y(x) - y(0) = \int_{0}^{x} y'(t)dt \sim \int_{0}^{x} tdt = \ell \cdot x, \end{equation*}
    \(y\) admettait alors \(+\infty\) comme limite en \(+\infty\text{,}\) ce qui est exclu (on a supposé \(y\) bornée). On traite de même le cas où \(\ell \lt 0\) en remplaçant \(y\) par \(-y\text{.}\)

(b)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.7.

Soient \(q \in \mathcal{C}^0([a, +\infty], \mathbb{R}_+)\) et
\begin{equation*} (\mathcal{E}_q): y'' = qy. \end{equation*}

(a)

Soit \(f \in S_{[a, +\infty]}(\mathcal{E}_q)\) telle que \(f(a) \gt 0\) et \(f'(a) \gt 0\text{.}\) Démontrer que \(f\) et \(f'\) sont strictement positives sur \([a, +\infty]\) et que \(f(x) \rightarrow +\infty\text{.}\)
Solution.
Supposons que \(f\) s’annule au moins une fois sur \([a, +\infty]\text{.}\)
L’ensemble \(\mathcal{Z}(f) = \{x \in [a, +\infty] \mid f(x) = 0\}\) est alors une partie fermée non vide de \([a, +\infty]\text{,}\) elle possède donc un plus petit élément \(c\) et \(c \gt a\text{.}\) De plus, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, \(f\) est strictement positive sur \([a, c]\text{,}\) donc \(f'' = gf\) est positive sur cet intervalle et donc \(f\) est convexe. On en déduit alors que pour tout \(x \in [a, c]\text{,}\)
\begin{equation*} f(x) \geq f'(a)(x - a) + f(a). \end{equation*}
En particulier, avec \(x = c, 0 = f(c) \geq f'(a)(c - a) + f(a)\text{.}\)
Ceci est impossible puisque \(f(a) \gt 0, f'(a) \gt 0\) et \(c - a \gt 0\text{.}\)
Conclusion \(f\) ne peut s’annuler sur \([a, +\infty]\text{,}\) donc elle y est de signe constant (nécessairement positif vu que \(f(a) \gt 0\)).
Par ailleurs \(f'' = gf\) est positive sur \([a, +\infty]\text{,}\) donc \(f'\) est croissante sur cet intervalle, donc, pour tout \(x \geq a\text{,}\) \(f'(x) \geq f'(a) \gt 0\text{.}\)
Enfin \(f(x) \rightarrow_{x \rightarrow +\infty} +\infty\) car d’après ce qui vient d’être fait, \(f\) est convexe sur \([a,+\infty]\text{,}\) donc
\begin{equation*} \forall x \geq a, \, f(x) \geq f'(a)(x-a)+f(a), \end{equation*}
d’où le résultat cherché puisque \(f'(a) \gt 0\text{.}\)

(b)

Soient \(u, v \in S_{[a, +\infty]}(\mathcal{E}_q)\) telles que
\begin{equation*} u(a) = 1, \quad u'(a) = 0 \quad \text{et} \quad v(a) = 0 \quad \text{et} \quad v'(a) = 1. \end{equation*}
  1. Calculer \(u'v - uv'\text{.}\) Démontrer que sur \([a, +\infty]\text{,}\) \(\frac{u}{v}\) et \(\frac{u'}{v'}\) sont monotones de monotonies opposées.
  2. Démontrer que \(\frac{u}{v}\) et \(\frac{u'}{v'}\) tendent vers la même limite en \(+\infty\text{.}\)
Solution.
Posons \(W = uv' - u'v\text{.}\) Il s’agit d’une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et
\begin{equation*} W' = uv'' - u''v = quv - quv = 0. \end{equation*}
W est donc constante. De plus, \(W(a) = 1\text{.}\)
Par ailleurs, comme \(v(a) = 0\) et \(v'(a) = 1\text{,}\) la fonction \(v\) est strictement positive au voisinage de \(a\) à droite et en reprenant la raisonnement de la question 1), on montre que \(v\) est strictement positive sur \([a,+\infty]\) et tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\text{.}\) On en déduit également que \(v'\) est strictement positive et croissante sur cet intervalle. On a alors, sur \([a,+\infty]\text{,}\)
\begin{equation*} \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{W}{v^2} = -\frac{1}{v^2} \lt 0 \text{ et} \end{equation*}
\begin{equation*} \left( \frac{u'}{v'} \right)' = \frac{u''v' - u'v''}{v'^2} = \frac{uv' - vu'}{v'^2} = q\frac{W}{v'^2} = \frac{q}{v'^2} \gt 0. \end{equation*}
Conclusion \(\frac{u}{v}\) est strictement décroissante sur \([a,+\infty]\) et \(\frac{u'}{v'}\) est croissante sur cet intervalle.
Écrivons
\begin{equation*} \frac{u(x)}{v(x)} - \frac{u'(x)}{v'(x)} = \frac{W(x)}{v(x) \cdot v'(x)} = \frac{1}{v(x) \cdot v'(x)} \rightarrow 0 \quad (1) \end{equation*}
car pour \(x \in [a,+\infty]\text{,}\) \(v'(x) \geq v'(a) = 1\) et \(v(x) \rightarrow_{x \rightarrow +\infty} +\infty\text{.}\)
Sur \([a,+\infty]\text{,}\) \(\frac{u'}{v'}\) étant croissante et \(v' \gt 0\text{,}\) on en déduit que \(u' \geq 0\) sur \([a,+\infty]\text{.}\)
De plus, pour \(x \in [a,+\infty]\text{,}\) \(\frac{u(x)}{v(x)} - \frac{u'(x)}{v'(x)} \geq 0\) donc la fonction décroissante sur \([a,+\infty]\text{,}\) \(x \rightarrow \frac{u(x)}{v(x)}\) est minorée par 0 donc converge vers une limite finie \(\ell \geq 0\) en \(+\infty\text{.}\)
Et, bien sûr,
\begin{equation*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{u'(x)}{v'(x)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{u(x)}{v(x)} = \ell. \end{equation*}

(c)

Démontrer qu’il existe une unique \(g \in S_{[a, +\infty]}(\mathcal{E}_q)\) telle que \(g\) soit strictement positive, décroissante sur \([a, +\infty]\) et telle que \(g(a) = 1\text{.}\)
Solution.
Le couple \((u,v)\) est un système fondamental de solutions sur \([a,+\infty]\) de \((\mathcal{E}_g)\) (car leur wronskien ne s’annule pas). Toute solution de \((\mathcal{E}_g)\) est donc de la forme \(g = \lambda u + \mu v\text{,}\) où \(\lambda\) et \(\mu\) sont des réels. La condition \(g(a) = 1\) revient à imposer \(\lambda = 1\text{.}\)
Le fait que \(g\) soit décroissante et minorée par 0 sur \([a,+\infty]\) impose à \(g\) d’être bornée.
Écrivons sur \([a,+\infty]\text{,}\)
\begin{equation*} g = v \left( \frac{u}{v} + \mu \right) \end{equation*}
on en déduit que si \(\ell + \mu \neq 0\text{,}\) on aurait \(g(x) \sim_{x \rightarrow +\infty} v(x) (\ell + \mu)\) donc \(g\) aurait une limite infinie en \(+\infty\text{,}\) absurde. Donc, nécessairement, \(\mu = -\ell\text{.}\)
Ce qui prouve l’unicité de \(g\text{,}\) cette fonction ne peut s’écrire que sous la forme \(g = u - \ell v\text{.}\)
Montrons que cette fonction est bien décroissante et positive.
Sur \([a,+\infty]\text{,}\) \(g = v \left( \frac{u}{v} - \ell \right) \gt 0\) car sur \([a,+\infty]\text{,}\) \(v \gt 0\) et \(\frac{u}{v}\) est strictement décroissante de limite \(\ell\text{.}\)
Toujours sur \([a,+\infty]\text{,}\) on a \(g' = v' \left( \frac{u'}{v'} - \ell \right) \leq 0\) car sur \([a,+\infty]\text{,}\) \(v' \gt 0\) et \(\frac{u'}{v'}\) est strictement croissante de limite \(\ell\text{.}\)
Conclusion Il existe une unique \(g \in S_{[a,+\infty]}(\mathcal{E}_g)\) telle que \(g\) soit strictement positive, décroissante sur \([a,+\infty]\) et telle que \(g(a) = 1\text{,}\) c’est \(u - \ell v\text{.}\)

Exercice 3.8. Théorème de relèvement pour les fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\text{.}\).

Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\text{,}\) \(t_0 \in I\text{,}\) \(u, v \in \mathcal{C}^1(I, \mathbb{R})\text{,}\) telles que \(u^2 + v^2 = 1\text{.}\) On considère également un réel \(\theta_0\) tel que
\begin{equation*} u(t_0) + iv(t_0) = \exp(i\theta_0), \end{equation*}
ainsi que la fonction
\begin{equation*} \theta : I \rightarrow \mathbb{R}, \quad t \mapsto \theta_0 + \int_0^t [u(s)v'(s) - u'(s)v(s)]ds. \end{equation*}
Démontrer que pour tout réel \(t\text{,}\)
\begin{equation*} u(t) + iv(t) = \exp(i\theta(t)). \end{equation*}
Démontrer que pour tout réel \(t\text{,}\)
\begin{equation*} u(t) + iv(t) = \exp(i\theta(t)). \end{equation*}
Solution.
La fonction
\begin{equation*} \theta : I \rightarrow \mathbb{R}, \quad t \mapsto \theta_0 + \int_0^t [u(s)v'(s) - u'(s)v(s)]ds \end{equation*}
est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) car \(uv' - u'v\) est continue sur cet intervalle. De plus, \(\theta' = uv' - u'v\text{.}\) Afin de conclure, on introduit la fonction
\begin{equation*} g = (u + iv) \exp(-i\theta). \end{equation*}
Elle est évidemment de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) et
\begin{equation*} g' = \exp(-i\theta) \left[ (u' + iv') - i\theta'(u + iv) \right] \\ = \exp(-i\theta) \left[ (u' + iv') - i(uv' - u'v)(u + iv) \right] \\ = \exp(-i\theta) \left[ (u' + v(uv' - u'v)) + i(v' - u(uv' - u'v)) \right] \\ = \exp(-i\theta) \left[ (u' + uvv' - u'v^2) + i(v' - u^2v' + uu'v) \right]. \end{equation*}
Or \(u^2 + v^2 = 1\text{,}\) donc par dérivation \(uu' + vv' = 0\) et donc
\begin{equation*} g' = \exp(-i\theta) \left[ u'u^2 + uvv' + i(v'v^2 + uu'v') \right] \\ = \exp(-i\theta) \left[ u(uu' + vv') + iv(vv' + uu') \right] = 0 \end{equation*}
Conclusion \(g\) est constante sur \(I\) égale à \(g(t_0) = \exp(-i\theta_0)(u(t_0) + iv(t_0)) = \exp(-i\theta_0) \exp(i\theta_0) = 1\text{,}\) par conséquent \(u + iv = \exp(i\theta)\text{.}\)

Exercice 3.9. Théorème de Sturm.

Soient \(I\) un intervalle non trivial de \(\mathbb{R}\text{,}\) \(p_1, p_2 : I \rightarrow \mathbb{R}\) deux fonctions continues telles que \(p_1 \leq p_2\text{.}\) On considère également deux fonctions \(y_1, y_2 : I \rightarrow \mathbb{R}\) non identiquement nulles, de classe \(\mathcal{C}^2\) telles que
\begin{equation*} \forall x \in I, \quad y_1''(x) + p_1(x)y_1(x) = 0 \quad \text{et} \quad y_2''(x) + p_2(x)y_2(x) = 0. \end{equation*}
Enfin, \(a\) et \(b\) désignent deux zéros consécutifs de \(y_1\text{.}\)

(a)

Démontrer que \(y_2\) s’annule au moins une fois dans \([a, b]\) ou que \(y_2(a) = y_2(b) = 0\text{.}\)
Solution.
Comme \(y_1\) ne s’annule pas sur \([a, b]\text{,}\) elle y est de signe constant et quitte à la changer en son opposée on peut supposer qu’elle est strictement positive sur \([a, b]\text{.}\) Supposons que \(y_2\) ne s’annule pas dans \([a, b]\text{.}\) Elle y est donc de signe constant et ici aussi, quitte à changer \(y_2\) en son opposée, on peut supposer \(y_2 \gt 0\) sur \([a, b]\text{.}\)
Considérons alors le wronskien \(W\) du couple \((y_1, y_2)\text{,}\) \(W = \begin{vmatrix} y_1\amp y_2 \\ y_1'\amp y_2' \end{vmatrix}\text{.}\)
Il s’agit là d’une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) et
\begin{equation*} W' = (y_1y_2' - y_2y_1')' = y_1y_2'' - y_2y_1'' = y_1y_2 (p_1 - p_2) \leq 0. \end{equation*}
Ainsi, \(W\) est décroissante sur \([a, b]\text{.}\)
Or \(W(a) = -y_2(a)y_1'(a)\) et \(y_2(a) \geq 0, \, y_1'(a) \gt 0, \, donc \, W(a) \leq 0\text{.}\)
De même \(W(b) = -y_2(b)y_1'(b)\) et \(y_2(b) \geq 0, \, y_1'(b) \lt 0, \, donc \, W(b) \geq 0\text{.}\)
Conclusion
\begin{equation*} \forall x \in [a, b], \, 0 \geq W(a) \geq W(x) \geq W(b) \geq 0. \end{equation*}
On a donc \(W = 0\) sur \([a, b]\text{.}\)
En particulier \(W(a) = -y_2(a)y_1'(a) = 0\) et \(W(b) = -y_2(b)y_1'(b) = 0, \, donc \, y_2(a) = 0 = y_2(b)\text{.}\)

(b)

Dans le cas où \(y_2\) ne s’annule pas dans \([a, b]\text{,}\) démontrer que \(y_2\) est proportionnelle à \(y_1\) sur le segment \([a, b]\text{.}\)
Solution.
Supposons que \(y_2(a) = 0 = y_2(b)\text{.}\) En reprenant les précédents calculs, on voit que l’on a toujours \(W\) décroissante sur \([a, b]\) avec \(W(a) = W(b) = 0, \, donc \, W\) est nulle sur \([a, b]\text{.}\)
On en déduit que sur \([a, b]\text{,}\)
\begin{equation*} \left(\frac{y_2}{y_1}\right)' = 0. \end{equation*}
Il existe donc \(\alpha \in \mathbb{R}^*\) tel que \(y_2 = \alpha y_1\) sur \([a, b]\text{.}\) Cette relation est encore vraie en \(a\) et en \(b\text{.}\)

Exercice 3.10.

Une application de Exercice 3.9
Soit \(y : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\text{,}\) non identiquement nulle et solution sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle \(y''(x) + \exp(x) \cdot y(x) = 0\text{.}\)
Démontrer que l’ensemble des zéros de \(y\) est infini dénombrable.
Solution.
On sait (voir exercice 7.2) que \(y\) possède un nombre fini de zéros dans tout segment.
Comme \(\mathbb{R}\) est l’union d’une famille dénombrable de segments, l’ensemble \(\mathcal{Z}(y)\) est l’union dénombrable d’ensembles finis, il est donc au plus dénombrable.
Il reste à voir que \(\mathcal{Z}(y)\) est infini. Supposons au contraire que \(\mathcal{Z}(y)\) soit fini.
Dans ce cas, il existe un réel \(\alpha\) pour lequel \(y\) ne s’annule pas sur \([\alpha, +\infty]\text{.}\)
On peut supposer (par application du théorème des valeurs intermédiaires) que \(y\) est strictement positive sur \([\alpha, +\infty]\text{.}\)
Il s’ensuit que \(y'' \lt 0\) sur \([\alpha, +\infty]\text{,}\) de sorte que \(y\) est concave sur \([\alpha, +\infty]\text{.}\)
On en déduit que pour \(a, x \in [\alpha, +\infty]\text{,}\)
\begin{equation*} y(x) \leq y(a) + y'(a)(x - a) \quad (1) \end{equation*}
Si \(y'(a) \lt 0\text{,}\) alors \(y\) tendrait vers \(-\infty\) en \(+\infty\text{,}\) ce qui n’est pas possible.
En définitive, \(y'\) est positive sur \([\alpha, +\infty]\text{,}\) donc \(y\) est croissante sur \([\alpha, +\infty]\text{.}\)
On en déduit que pour tout \(x \geq \alpha\text{,}\)
\begin{equation*} y''(x) = -\exp(x)y(x) \leq -\exp(\alpha)y(\alpha) = -\gamma \lt 0. \end{equation*}
L’inégalité des accroissements finis montre que \(y'(x) \underset{x \rightarrow +\infty}{\rightarrow} -\infty\text{.}\)
Une nouvelle application de l’inégalité des accroissements finis permet de conclure que \(y(x) \underset{x \rightarrow +\infty}{\rightarrow} -\infty\text{,}\) d’où une contradiction puis que par hypothèse \(y \gt 0\) sur \([\alpha, +\infty]\text{.}\)
Conclusion \(\mathcal{Z}(y)\) est un ensemble infini dénombrable.

Exercice 3.11.

Une application de Exercice 3.9
Soit \(q : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue, \(T\)-périodique (\(T \gt 0\)).
On considère une fonction \(y : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^2\text{,}\) non identiquement nulle et solution sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle \(y'' + qy = 0\text{.}\)
On note \(\mathcal{Z}(y)\) l’ensemble des zéros de \(y\text{.}\)
Démontrer que ou bien \(\text{Card}(\mathcal{Z}(y)) \leq 1\) ou bien \(\mathcal{Z}(y)\) est infini.
Indication : si \(a\) et \(b\) sont deux zéros consécutifs de \(y\text{,}\) démontrer que \(y\) s’annule dans tout segment de la forme \([a + nT, b + nT]\text{,}\) où \(n \in \mathbb{Z}\text{.}\)
Solution.
Supposons que \(y\) possède au moins deux zéros \(a \lt b\text{.}\) En utilisant la conclusion de l’exercice 7.2, on se ramène au cas où \(a\) et \(b\) sont deux zéros consécutifs de \(y\text{.}\)
Dans ce cas (théorème des valeurs intermédiaires), \(y\) est de signe constant sur \(]a, b[\) et quitte à changer \(y\) en son opposé, on peut supposer que \(y\) est strictement positive sur \(]a, b[\text{.}\) Pour tout entier \(n\text{,}\) on note
\begin{equation*} y_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \, x \mapsto y(x + nT). \end{equation*}
Comme la fonction \(q\) est \(T\)-périodique, \(y_n\) est solution, sur \(\mathbb{R}\text{,}\) de l’équation \(y'' + qy = 0\text{.}\)
On utilise alors les conclusions de l’exercice 7.9 avec ici \(p_1 = p_2 = q\text{.}\)
La fonction \(y_n\) s’annule au moins une fois dans \(]a, b[\) ou alors \(y_n(a) = y_n(b) = 0\text{.}\)
Dans les deux cas, on a répondu à la question. Considérons alors un entier \(p \gt 0\) tel que \(pT \gt b - a\text{.}\) On vérifie que pour \(n \geq p\text{,}\) les segments \([a + npT, b + npT]\) sont deux à deux disjoints car
\begin{equation*} b + npT \lt a + (n + 1)pT. \end{equation*}
Conclusion si \(\text{Card}(\mathcal{Z}(y)) \geq 2\text{,}\) alors \(\mathcal{Z}(y)\) est infini.

Exercice 3.12. Le lemme de Gronwall..

Soient \(u, v \in \mathcal{C}^0([a, +\infty], \mathbb{R}_+)\) et \(c\) un réel positif tels que
\begin{equation*} \forall \, x \in [a, +\infty], \, u(x) \leq c + \int_a^x u(t)v(t)dt. \end{equation*}
Démontrer que pour tout \(x \in [a, +\infty]\text{,}\)
\begin{equation*} u(x) \leq c \cdot \exp \left( \int_a^x v(t)dt \right). \end{equation*}
Démontrer que pour tout \(x \in [a, +\infty]\text{,}\)
\begin{equation*} u(x) \leq c \cdot \exp \left( \int_a^x v(t)dt \right). \end{equation*}
Solution.
Supposons d’abord \(c \gt 0\) et considérons la fonction
\begin{equation*} F : [a, +\infty] \rightarrow \mathbb{R}_+, \, x \mapsto \ln \left( c + \int_a^x u(t)v(t)dt \right). \end{equation*}
Cette fonction est de classe \(\mathcal{C}^1\) et pour tout \(x \geq a\text{,}\)
\begin{equation*} F'(x) = \frac{u(x)v(x)}{c + \int_a^x u(t)v(t)dt} \leq v(x), \end{equation*}
d’où, par intégration
\begin{equation*} \forall \, x \geq a, \, F(x) - \ln c = F(x) - F(a) \leq \int_a^x v(t)dt, \end{equation*}
d’où
\begin{equation*} \forall x \geq a, \, u(x) \leq \exp(F(x)) \leq c \cdot \exp\left( \int_a^x v(t)dt \right). \end{equation*}
Supposons à présent que \(c = 0\text{.}\) Dans ce cas, on peut appliquer tout ce qui précède pour tout \(\varepsilon \gt 0\text{,}\)
\begin{equation*} \forall x \geq a, \, u(x) \leq \varepsilon \cdot \exp\left( \int_a^x v(t)dt \right), \end{equation*}
d’où le résultat cherché en faisant tendre \(\varepsilon\) vers 0.

Exercice 3.13. Un problème de conditions aux limites..

Soient \(f, g \in \mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R})\text{.}\) On suppose que \(f \leq 0\text{.}\) On s’intéresse à l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{L}) : y'' + f(x)y = g(x) \end{equation*}
où la fonction inconnue \(y\) est supposée à valeurs réelles.
Soit \(y\) une solution de l’équation homogène \((\mathcal{H})\) associée vérifiant \(y(a) = y(b) = 0\text{.}\) En considérant \(\int_a^b f(x)y^2(x)dx\text{,}\) démontrer que \(y\) est constante, égale à zéro sur \([a, b]\text{.}\)
Solution.
On considère comme c’est indiqué dans l’énoncé \(\int_a^b f(x)y^2(x)dx\text{.}\) Ce nombre est clairement négatif. Par ailleurs, en tenant compte du fait que \(y(a) = y(b) = 0\text{,}\)
\begin{equation*} \int_a^b f(x)y^2(x)dx = - \int_a^b y(x)y''(x)dx = - [y(x)y'(x)]_a^b + \int_a^b y'^2(x)dx = \int_a^b y'^2(x)dx \geq 0. \end{equation*}
Conclusion \(\int_a^b f(x)y^2(x)dx = \int_a^b y'^2(x)dx = 0\) et comme \(y'^2\) est positive et continue, on peut conclure que \(y'^2 = 0\) sur \([a, b]\text{,}\) donc \(y\) est constante et nécessairement nulle vu que \(y(a) = y(b) = 0\text{.}\)

Exercice 3.14.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que \(q' \in L^1(\mathbb{R}_+)\text{.}\) Démontrer que les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de l’équation
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + (1 + q)y = 0 \end{equation*}
sont toutes bornées ainsi que leurs dérivées d’ordre 1. Indication : on pourra considérer la fonction \(E = \frac{1}{2}(y^2 + y'^2)\) puis utiliser le lemme de Gronwall (exercice 7.12).
Démontrer que les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de l’équation \((\mathcal{H})\) sont toutes bornées ainsi que leurs dérivées d’ordre 1.
Solution.
Soit \(y : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une solution sur \(\mathbb{R}_+\) de l’équation \((\mathcal{H})\text{.}\) On lui associe la fonction \(E = \frac{1}{2}(y^2 + y'^2)\text{.}\) Cette fonction est de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(E' = -qyy'\text{.}\) Ainsi, pour tout réel \(x \geq 0\text{,}\)
\begin{equation*} E(x) - E(0) = - \int_0^x q(t)y(t)y'(t)dt = - \left[ \frac{1}{2}q(t)y^2(t) \right]_0^x + \frac{1}{2} \int_0^x q'(t)y^2(t)dt \end{equation*}
\begin{equation*} = -\frac{1}{2}q(x)y^2(x) + \frac{1}{2}q(0)y^2(0) + \frac{1}{2} \int_0^x q'(t)y^2(t)dt, \end{equation*}
d’où, pour les mêmes valeurs de \(x\text{,}\)
\begin{equation*} E(x) \leq C + \frac{1}{2} \int_0^x |q'(t)|y^2(t)dt \leq C + \int_0^x |q'(t)|E(t)dt \quad (\text{avec} \quad C = \frac{1}{2}q(0)y^2(0) + E(0)). \end{equation*}
Le lemme de Gronwall permet alors de conclure que
\begin{equation*} \forall x \in \mathbb{R}_+, \quad E(x) \leq C \exp \left( \int_0^x |q'(t)|dt \right) \leq C \exp \left( \int_0^{\infty} |q'(t)|dt \right). \end{equation*}
Conclusion \(E\) est bornée sur \(\mathbb{R}_+\) et il en est donc de même de \(y\) et de \(y'\text{.}\)

Exercice 3.15.

Soient \(I\) un intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\text{,}\) \((a, b) \in \mathcal{C}^0 (I, \mathbb{R})^2\text{.}\) On considère l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + ay' + by = 0. \end{equation*}
On suppose connu le fait que les zéros de toute solution sur \(I\) non identiquement nulle de \((\mathcal{H})\) sont isolés.

(a)

Soient \(f, g \in S_1 (\mathcal{H}) \setminus \{0\}\text{.}\) On suppose que \(f\) et \(g\) possèdent un zéro commun. Démontrer alors que ces deux fonctions sont proportionnelles.
Solution.
Supposons qu’il existe \(a \in I\) tel que \(f(a) = g(a) = 0\text{.}\) Comme \(f\) et \(g\) sont des solutions non identiquement nulles de \((\mathcal{H})\text{,}\) \(f'(a)\) et \(g'(a)\) ne sont pas nuls. On considère alors \(h = f'(a) \cdot g - g'(a) \cdot f\text{.}\) C’est une solution sur \(I\) de \((\mathcal{H})\) qui est telle que \(h(a) = 0\) et \(h'(a) = 0\text{.}\) On en déduit que \(h\) est la fonction nulle, par conséquent \(f\) et \(g\) sont proportionnelles.

(b)

Soit \((f, g)\) un système fondamental de solutions sur \(I\) de \((\mathcal{H})\text{.}\) Démontrer qu’entre deux zéros consécutifs de \(f\) il y a exactement un zéro de \(g\text{.}\)
Solution.
Soient \((f, g)\) un système fondamental de solutions sur \(I\) de \((\mathcal{H})\) et \(a \lt b\) deux zéros consécutifs de \(f\text{.}\) Quitte à changer \(f\) en \(-f\text{,}\) on peut supposer grâce au théorème des valeurs intermédiaires que \(f\) est strictement positive sur \(]a, b[\text{.}\)
Supposons à présent que \(g\) ne s’annule pas sur \(]a, b[\text{.}\) À nouveau, on peut supposer \(g \gt 0\) sur \(]a, b[\text{.}\) Comme \(f\) et \(g\) sont linéairement indépendantes, il résulte de la question 1) que \(g\) ne s’annule ni en \(a\) ni en \(b\text{.}\) Ainsi \(g(a) \gt 0\) et \(g(b) \gt 0\text{.}\)
Par ailleurs si on note \(W\) le wronskien du couple \((f, g)\text{,}\) \(W = \begin{vmatrix} f\amp g \\ f'\amp g' \end{vmatrix}\text{.}\)
On a \(f'(a) \geq 0\) et même \(f'(a) \gt 0\) (car sinon on aurait \(f(a) = f'(a) = 0\text{,}\) ce qui entraînerait \(f = 0\)). De même \(f'(b) \lt 0\text{.}\) Ainsi
\begin{equation*} W(a) = -g(a)f'(a) \lt 0 \quad \text{et} \quad W(b) = -g(b)f'(b) \gt 0 \end{equation*}
ce qui entraînerait via le théorème des valeurs intermédiaires l’existence d’un zéro pour \(W\) dans \(I\text{.}\) Ceci est impossible vu que \((f, g)\) est un système fondamental de solutions sur \(I\) de \((\mathcal{H})\text{.}\)
Conclusion entre \(a\) et \(b\text{,}\) \(g\) s’annule au moins une fois. De plus elle ne peut s’annuler deux fois sans quoi le précédent raisonnement appliqué au couple \((g, f)\) démontrerait l’existence pour \(f\) d’un zéro strictement compris entre \(a\) et \(b\text{.}\)

Exercice 3.16.

Soient \(A \in M_n (\mathbb{C})\) et
\begin{equation*} (\mathcal{E}_A) : Y' = AY \end{equation*}
(où la fonction inconnue \(Y\) est à valeurs dans \(\mathbb{C}^n\)).
Démontrer que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\) sont bornées si et seulement si \(A\) est diagonalisable et si \(\text{Sp}(A) \subset i\mathbb{R}\text{.}\)
Démontrer que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\) sont bornées si et seulement si \(A\) est diagonalisable et si \(\text{Sp}(A) \subset i\mathbb{R}\text{.}\)
Solution.
On note \(||\cdot||\) une norme sur \(\mathbb{C}^n\text{.}\)
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\) sont bornées. Soient \(\lambda \in \text{Sp}(A)\) et \(v\) un vecteur propre associé. On sait alors que l’application \(Y_v : t \mapsto e^{\lambda t} \cdot v\) est une solution sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\text{.}\) De plus, pour tout réel \(t\text{,}\)
\begin{equation*} ||Y_v(t)|| = e^{t \cdot \text{Re}(\lambda)} ||v||. \end{equation*}
Comme \(Y_v\) est bornée sur \(\mathbb{R}\text{,}\) cela impose \(\text{Re}(\lambda) = 0\text{.}\)
Conclusion \(\text{Sp}(A) \subset i\mathbb{R}\text{.}\)
Considérons à présent \(\lambda \in \text{Sp}(A)\) et \(w \in \ker(A - \lambda I_n)^2\text{.}\) On note \(v = Aw - \lambda w\text{.}\) L’application
\begin{equation*} X_w : t \mapsto \exp(tA) \cdot w = e^{\lambda t} \exp(t(A - \lambda I_n) \cdot w = e^{\lambda t} \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{t^p}{p!}(A - \lambda I_n)^p \cdot w = e^{\lambda t}[w + tv] \end{equation*}
est aussi une solution bornée sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\text{.}\) On en déduit que nécessairement \(v = 0\text{.}\)
Ainsi, pour toute \(\lambda \in \text{Sp}(A)\text{,}\) \(\ker(A - \lambda I_n)^2 = \ker(A - \lambda I_n)\text{.}\) On démontre (exercice classique) que pour tout entier \(k \geq 1\text{,}\) \(\ker(A - \lambda I_n)^k = \ker(A - \lambda I_n)\text{.}\)
De plus, le théorème de Cayley-Hamilton ainsi que le lemme de décomposition des noyaux montrent que
\begin{equation*} \mathbb{C}^n = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(A)} \ker(A - \lambda I_n)^{m(\lambda, \chi_A)}. \end{equation*}
Conclusion D’après ce qui précède \(\mathbb{C}^n = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(A)} \ker(A - \lambda I_n)\text{,}\) donc \(A\) est diagonalisable.
Réciproquement, supposons \(A\) est diagonalisable et \(\text{Sp}(A) \subset i\mathbb{R}\text{.}\)
Dans ce cas, toute solution de \((\mathcal{E}_A)\) est combinaison linéaire de solutions de la forme \(Y_v\) qui sont toutes bornées sur \(\mathbb{R}\text{.}\)
Conclusion toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\) sont bornées sur \(\mathbb{R}\text{.}\)

Exercice 3.17.

Soient \(A \in \mathcal{M}_n (\mathbb{C})\) et
\begin{equation*} (\mathcal{E}_A) : Y' = AY \end{equation*}
(où la fonction inconnue \(Y\) est à valeurs dans \(\mathbb{C}^n\)).
Que peut-on dire de \(A\) si toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\) sont 1-périodiques ?
Que peut-on dire de \(A\) si toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\) sont 1-périodiques ?
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\) sont 1-périodiques.
Considérons \(\lambda \in \text{Sp}(A)\) et \(v\) un vecteur propre associé.
On sait alors que l’application \(Y_v : t \mapsto e^{\lambda t} \cdot v\) est une solution sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\text{.}\)
Comme elle est 1-périodique, \(e^{\lambda} = 1\text{,}\) donc \(\lambda \in 2i\pi \mathbb{Z}\text{.}\)
Considérons toujours \(\lambda \in \text{Sp}(A)\) et cette fois \(w \in \ker(A - \lambda I_n)^2\text{.}\) On note \(v = Aw - \lambda w\text{.}\)
L’application
\begin{equation*} X_w : t \mapsto \exp(tA) \cdot w = e^{\lambda t} \exp(t(A - \lambda I_n) \cdot w = e^{\lambda t} \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{t^p}{p!}(A - \lambda I_n)^p \cdot w = e^{\lambda t}[w + tv] \end{equation*}
est aussi une solution sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\text{.}\) Elle est donc 1-périodique, donc
\begin{equation*} \forall t \in \mathbb{R}, e^{\lambda t}[w + tv + v] = e^{\lambda t}[w + tv] \end{equation*}
donc \(v = 0\text{.}\)
Ainsi, pour toute \(\lambda \in \text{Sp}(A)\text{,}\) \(\ker(A - \lambda I_n)^2 = \ker(A - \lambda I_n)\text{.}\) On suit la même démarche qu’à l’exercice précédent, on montre que pour tout entier \(k \geq 1\text{,}\) \(\ker(A - \lambda I_n)^k = \ker(A - \lambda I_n)\) puis le théorème de Cayley-Hamilton et le lemme de décomposition des noyaux montrent que
\begin{equation*} \mathbb{C}^n = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(A)} \ker(A - \lambda I_n)^{m(\lambda, \chi_A)} \end{equation*}
Conclusion d’après ce qui précède \(\mathbb{C}^n = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(A)} \ker(A - \lambda I_n)\text{,}\) donc \(A\) est diagonalisable.
Réciproquement, on vérifie facilement que si \(A\) est diagonalisable et si \(\text{Sp}(A) \subset 2i\pi \mathbb{Z}\text{,}\) alors toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \((\mathcal{E}_A)\) sont 1-périodiques.

Exercice 3.18.

Soit \(q : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+\) une application continue telle que \(q(t) \underset{t \rightarrow +\infty}{\rightarrow} \ell \gt 0\text{.}\)
On considère également une solution sur \(\mathbb{R}\text{,}\) \(y\) de l’équation
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0 \end{equation*}
vérifiant en outre \(y(0) = 0\text{.}\)

(a)

Que peut-on dire de \(y\) si \(y'(0) = 0\) ?
Solution.
Si \(y(0) = y'(0) = 0\text{,}\) le théorème de Cauchy-Lipschitz montre que la fonction \(y\) est identiquement nulle sur \(\mathbb{R}\text{.}\)

(b)

On suppose à présent \(y'(0) \gt 0\text{.}\)
  1. Démontrer que \(y'\) s’annule au moins une fois sur \(\mathbb{R}_+^*\text{.}\)
  2. Démontrer que \(y\) s’annule une infinité de fois sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Solution.
Afin de résoudre cette question on aura besoin du lemme suivant :
Lemme : Soit \(f : [c, +\infty] \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction dérivable possédant une limite \(L \in \mathbb{R}_- \cup \{-\infty\}\) en \(+\infty\text{.}\) Alors \(f\) tend vers \(-\infty\) en \(+\infty\text{.}\)
Preuve du lemme : D’après l’hypothèse faite sur \(f\text{,}\) il existe \(A \geq c, m \gt 0\) tels que pour tout \(x \geq A, f'(x) \leq -m\text{.}\) L’inégalité des accroissements finis permet de conclure que pour ces mêmes valeurs de \(x\text{,}\)
\begin{equation*} f(x) \leq f(A) - m(x-a) \end{equation*}
d’où immédiatement la conclusion souhaitée.
  1. Supposons que \(y'\) ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}_+^*\text{.}\) Elle possède donc sur cet intervalle un signe constant et comme \(y'(0) \gt 0\text{,}\) elle y reste strictement positive. Il s’ensuit que \(y\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\text{,}\) donc \(y(t) \underset{t \rightarrow +\infty}{\rightarrow} L \gt 0\) et donc \(y''(t) \underset{t \rightarrow +\infty}{\rightarrow} -\ell \cdot L\) (éventuellement \(-\infty\)). Le précédent lemme montre qu’alors \(y'(t) \underset{t \rightarrow +\infty}{\rightarrow} -\infty\text{,}\) ce qui est impossible.
    Conclusion \(y'\) s’annule au moins une fois sur \(\mathbb{R}_+^*\text{.}\)
  2. Ici aussi on raisonne par l’absurde en supposant que \(y\) ne possède qu’un nombre fini de zéros sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On note \(A \geq 0\) le plus grand d’entre eux. La fonction \(y\) est alors de signe constant sur \([A, +\infty]\text{.}\) Supposons par exemple qu’elle y est strictement positive.
    Dans ce cas, \(y'' = -qy\) est négative sur \([A, +\infty]\) et donc \(y\) est concave sur \([A, +\infty]\) et donc pour tout \(a \geq A\) et pour tout \(x \geq A\text{,}\)
    \begin{equation*} y(x) \leq y(a) + y'(a)(x-a) \end{equation*}
    On en déduit que si \(y'(a) \gt 0\text{,}\) alors \(y'(t) \underset{t \rightarrow +\infty}{\rightarrow} -\infty\text{,}\) donc \(y(t) \underset{t \rightarrow +\infty}{\rightarrow} -\infty\text{,}\) ce qui est impossible.
    Conclusion \(y'\) est négative sur \([A, +\infty]\text{,}\) donc \(y\) décroit sur \([A, +\infty]\) et comme elle est minorée par 0 sur cet intervalle, elle possède une limite finie \(\ell_0 \geq 0\) en \(+\infty\text{.}\)
    De plus on a nécessairement \(\ell_0 = 0\) sinon \(y''(t) \underset{t \rightarrow +\infty}{\rightarrow} -\ell \cdot \ell_0 \lt 0\) et le précédent lemme montre alors que \(y'(t) \underset{t \rightarrow +\infty}{\rightarrow} -\infty\text{,}\) puis que \(y(t) \underset{t \rightarrow +\infty}{\rightarrow} -\infty\) ce qui est impossible.
    On aboutit à une contradiction car \(y(A) = 0 = \lim_{t \rightarrow +\infty} y(t)\) et \(y\) décroissante sur \([A, +\infty]\text{,}\) donc \(y = 0\) sur \([A, +\infty]\text{.}\)

Exercice 3.19. Méthode d’Euler – Python..

Cet exercice utilise le lemme de Gronwall, exercice 7.12.
Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}\) une application continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + (1 + q)y = 0. \end{equation*}
Soit \(y \in S_{\mathbb{R}_+} (\mathcal{H})\text{.}\)
Dans cette question uniquement, \(q(t) = \frac{1}{1 + t^2 + t^4}\text{.}\)
Soit \(y: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}\) une solution de l’équation \((\mathcal{H})\) telle que \(y(0) = \alpha, \, y'(0) = \beta\text{.}\) À l’aide de la méthode d’Euler (ou bien l’instruction \(odeint\) du module \(scipy.integrate\)), tracer le support de la courbe paramétrée
\begin{equation*} [0, 20] \rightarrow \mathbb{R}^2, \, t \mapsto (y(t), y'(t)) \end{equation*}
pour diverses valeurs du couple \((\alpha, \beta)\text{.}\)
Que peut-on conjecturer en ce qui concerne le comportement asymptotique de la fonction \(y\) en \(+\infty\) ?
Solution.
Voici le code Python :
On peut penser que la solution \(y\) est bornée (surtout en utilisant \(odeint\)).

Exercice 3.20.

Soit \(q\) application continue de \(\mathbb{R}^{+}\) dans \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et non intégrable sur \(\mathbb{R}_{+}\text{.}\)
On veut démontrer qu’une solution (non identiquement nulle) de l’équation différentielle \((\mathcal{E})\) sur \(\mathbb{R}^{+}\)
\begin{equation*} (\mathcal{E}) : x'' + q(t)x = 0 \end{equation*}
admet une infinité de zéros.

(a)

Vérifier ce résultat sur un cas simple de votre choix.
Solution.
Il suffit de choisir \(q = 1\text{.}\) Les solutions de l’équation sont toutes les fonctions de la forme
\begin{equation*} y : t \mapsto A \cos t + B \sin t \end{equation*}
Si \(A\) ou \(B\) est nul, il est clair que \(y\) possède une infinité de zéros. S’ils ne sont pas nuls, on considère un réel \(\varphi\) tel que \(\tan \varphi = \frac{B}{A}\text{.}\) On a alors
\begin{equation*} \forall t \in \mathbb{R}, \quad y(t) = \frac{A}{\cos \varphi} \cos (t - \varphi) \end{equation*}
et la conclusion s’en suit immédiatement.

Exercice 3.21.

Dans cet exercice on s’intéresse à l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{E}) : y''(x) + q(x)y(x) = 0 \end{equation*}
où \(q : [1,+\infty] \rightarrow \mathbb{R}\) est une fonction continue pour laquelle la fonction \(t \mapsto tq(t)\) est intégrable sur \([1,+\infty]\) avec
\begin{equation*} K = \int_{1}^{+\infty} t |q(t)| dt \lt 1. \end{equation*}
On note \(C_0^0 ([1,+\infty], \mathbb{R})\) l’espace vectoriel des fonctions \(f : [1,+\infty] \rightarrow \mathbb{R}\) qui sont continues et bornées sur \([1,+\infty]\text{.}\) Cet espace est muni de la norme \(|| \cdot ||\) définie par
\begin{equation*} \forall f \in C_0^0 ([1,+\infty], \mathbb{R}), || f || = \sup_{x \in [1,+\infty]} |f(x)|. \end{equation*}

(a)

Soit \(y \in C_0^0 ([1,+\infty], \mathbb{R})\text{.}\) Démontrer que la fonction
\begin{equation*} \Phi(y) : x \mapsto 1 + \int_{x}^{+\infty} (x-t)q(t)y(t)dt \end{equation*}
est définie, bornée et de classe \(\mathcal{C}^2\) sur l’intervalle \([1,+\infty]\text{.}\)
Solution.
Soit \(x \geq 1\) fixé. La fonction \(t \mapsto (x-t)q(t)y(t)\) est continue sur \([1,+\infty]\) et pour tout \(t \geq x\)
\begin{equation*} |(x-t)q(t)y(t)| \leq (t-x) |q(t)| || y || \leq t |q(t)| || y || \end{equation*}
ce qui assure l’intégrabilité de \(t \mapsto (x-t)q(t)y(t)\) sur \([1,+\infty]\text{.}\)
De plus,
\begin{equation*} \forall x \geq 1, \quad \Phi(y)(x) = 1 + \int_{x}^{+\infty} (x-t)q(t)y(t)dt = 1 + x \int_{x}^{+\infty} q(t)y(t)dt - \int_{x}^{+\infty} tq(t)y(t)dt \end{equation*}
Comme les fonctions \(q\) et \(y\) sont continues, on en déduit le caractère \(\mathcal{C}^1\) de \(\Phi(y)\) et la relation
\begin{equation*} \forall x \geq 1, \quad \Phi(y)'(x) = \int_{x}^{+\infty} q(t)y(t)dt - xq(x)y(x) + xq(x)y(x) = \int_{x}^{+\infty} q(t)y(t)dt \end{equation*}
d’où le caractère \(\mathcal{C}^2\) de \(\Phi(y)\) et la relation
\begin{equation*} \forall x \geq 1, \quad \Phi(y)''(x) = -q(x)y(x) \end{equation*}
Enfin, \(\Phi(y)\) est bornée car
\begin{equation*} \forall x \geq 1, |\Phi(y)(x)| \leq 1 + ||y|| \int_{x}^{+\infty} t |q(t)| \leq 1 + ||y|| K. \end{equation*}

Exercice 3.22.

Soit \(P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0 \in \mathbb{C}[X]\) un polynôme dont les racines ont toutes une partie réelle strictement négative. On considère également une fonction \(g \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C})\) de limite nulle en \(+\infty\text{.}\) On leur associe l’équation différentielle linéaire d’ordre \(n\)
\begin{equation*} (\mathcal{L}) : y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = g. \end{equation*}
Démontrer que toute solution \(y : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}\) de cette équation tend vers 0 en \(+\infty\text{.}\)
Indication : on pourra commencer par examiner le cas où \(n = 1\text{.}\)

(a)

Démontrer que toute solution \(y : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}\) de cette équation tend vers 0 en \(+\infty\text{.}\)
Solution.
On peut commencer par observer que toute solution de \((\mathcal{L})\) est indéfiniment dérivable (démontrer par récurrence qu’une telle fonction est de classe \(\mathcal{C}^k\text{,}\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\)). Pour la question posée, on procède par récurrence.
Cas \(n = 1\) : On a donc ici \(P = X + a_0\text{.}\) On considère donc une fonction \(g \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C})\) telle que pour tout réel \(t\text{,}\)
\begin{equation*} y'(t) + a_0y(t) = g(t) \end{equation*}
ce qui équivaut à
\begin{equation*} \frac{d}{dt}(t \mapsto y(t) \exp(a_0t))(t) = \exp(a_0t)g(t) \end{equation*}
d’où l’existence d’un complexe \(C\) tel que pour tout \(t \in \mathbb{R}\text{,}\)
\begin{equation*} y(t) \exp(a_0t) = C + \int_0^t \exp(a_0s)g(s)ds \end{equation*}
d’où
\begin{equation*} y(t) = C \exp(-a_0t) + \exp(-a_0t) \int_0^t \exp(a_0s)g(s)ds \end{equation*}
On en déduit, pour les mêmes valeurs de \(t\text{,}\)
\begin{equation*} |y(t)| \leq |C| \exp(-\text{Re}(a_0)t) + \exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_0^t \exp(\text{Re}(a_0)s) |g(s)| ds \end{equation*}
Comme \(\text{Re}(a_0) \gt 0\text{,}\) \(|C| \exp(-\text{Re}(a_0)t) \underset{t \to +\infty}{\rightarrow} 0\text{.}\) Il ne reste plus qu’à s’occuper du second terme. Pour cela on se donne un réel \(\varepsilon \gt 0\text{.}\) Comme \(g\) tend vers 0 en \(+\infty\text{,}\) il existe un réel \(\Lambda \gt 0\) tel que pour tout \(t \geq \Lambda\text{,}\) \(|g(t)| \leq \varepsilon\text{.}\) On en déduit, toujours, pour \(t \geq \Lambda\text{,}\)
\begin{equation*} \exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_0^t \exp(\text{Re}(a_0)s) |g(s)| ds \end{equation*}
\begin{equation*} \leq \exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_0^{\Lambda} \exp(\text{Re}(a_0)s) |g(s)| ds + \exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_{\Lambda}^t \exp(\text{Re}(a_0)s) ds \end{equation*}
\begin{equation*} \leq \exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_0^{\Lambda} \exp(\text{Re}(a_0)s) |g(s)| ds + \exp(-\text{Re}(a_0)t) \left[ \frac{e^{\text{Re}(a_0)t} - e^{\text{Re}(a_0)\Lambda}}{\text{Re}(a_0)} \right] \end{equation*}
\begin{equation*} \leq \exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_0^{\Lambda} \exp(\text{Re}(a_0)s) |g(s)| ds + \frac{\varepsilon}{\text{Re}(a_0)} \left[ 1 - e^{\text{Re}(a_0)(\Lambda - t)} \right] \end{equation*}
\begin{equation*} \leq \exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_0^{\Lambda} \exp(\text{Re}(a_0)s) |g(s)| ds + \frac{\varepsilon}{\text{Re}(a_0)} \end{equation*}
Enfin \(\exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_0^{\Lambda} \exp(\text{Re}(a_0)s) |g(s)| ds \underset{t \to +\infty}{\rightarrow} 0\text{,}\) donc il existe \(B \gt A\) tel que pour tout \(t \geq B\text{,}\) \(\exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_0^{\Lambda} \exp(\text{Re}(a_0)s) |g(s)| ds \leq \varepsilon\text{.}\)
En définitive,
\begin{equation*} \forall t \geq B, \exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_0^t \exp(\text{Re}(a_0)s) |g(s)| ds \leq \varepsilon \left(1 + \frac{1}{\text{Re}(a_0)}\right) \end{equation*}
donc \(\exp(-\text{Re}(a_0)t) \int_0^t \exp(\text{Re}(a_0)s) |g(s)| ds \to 0\) et donc \(|y(t)| \to 0\text{.}\)
Cas général : Supposons la propriété démontrée au rang \(n - 1 \geq 1\text{.}\) On considère donc l’équation d’ordre \(n\text{,}\)
\begin{equation*} (\mathcal{L}) : y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = g \end{equation*}
On peut remarquer que cette équation peut s’écrire sous la forme \(P(D)(y) = g\) où \(D\) est l’opérateur de dérivation sur l’espace \(\mathcal{C}^\infty (\mathbb{R}, \mathbb{C})\) et où \(P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\text{.}\) Soit \(\lambda\) une racine de \(P\text{.}\) Il existe donc \(Q \in \mathbb{C}[X]\text{,}\) de degré \(n - 1\) tel que \(P = (X - \lambda)Q\text{.}\) L’équation \((\mathcal{L})\) peut alors s’écrire
\begin{equation*} (D - \lambda Id)(z) = g \text{ et } z = Q(D)(y) \end{equation*}
D’après l’étude du cas \(n = 1\text{,}\) la fonction \(z\) tend vers 0 en \(+\infty\) et d’après l’hypothèse de récurrence, \(y\) tend aussi vers 0 en \(+\infty\text{.}\)

Exercice 3.23.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}^*\) une fonction continue strictement négative. On s’intéresse dans cet exercice aux solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{E}_q) : y'' + qy = 0 \end{equation*}
On note \(y_1 : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}\) la solution de \((\mathcal{E}_q)\) vérifiant \(y_1(0) = 1 = y_1'(0)\text{.}\)

(a)

Démontrer que la fonction \(y_1\) est strictement positive, strictement croissante et convexe sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Solution.
Supposons que \(y_1\) s’annule au moins une fois dans \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On note
\begin{equation*} X = \{x \in \mathbb{R}_+ \mid y_1(x) = 0\} \text{ et } c = \inf X \end{equation*}
Or \(X\) est une partie fermée de \(\mathbb{R}\text{,}\) donc \(c \in X\text{.}\) De plus, comme \(y_1(0) \gt 0\text{,}\) le théorème des valeurs intermédiaires montre que \(y_1 \gt 0\) sur \([0, c]\text{.}\) On en déduit que \(y_1'' \gt 0\) sur \([0, c]\text{,}\) donc
\begin{equation*} \forall x \in [0, c], \quad y_1(x) \geq y_1'(0)(x - 0) + y_1(0) \end{equation*}
En particulier, avec \(x = c, 0 = y_1(c) \geq y_1'(0)c + y_1(0)\text{.}\)
Ceci est impossible puisque \(y_1(0) \gt 0, y_1'(0) \gt 0\) et \(c \gt 0\text{.}\)
Conclusion \(y_1\) ne peut s’annuler sur \(\mathbb{R}_+\text{,}\) donc elle y est de signe constant (nécessairement positif vu que \(y_1(0) \gt 0\)).
Par ailleurs \(y_1'' = qy_1\) est positive sur \(\mathbb{R}_+\text{,}\) donc \(y_1'\) est croissante sur cet intervalle, donc, pour tout \(x \geq 0\text{,}\) \(y_1'(x) \geq y_1'(0) \gt 0\text{.}\)
Enfin \(y_1(x) \rightarrow_{x \rightarrow +\infty} +\infty\) car d’après ce qui vient d’être fait, \(y_1\) est convexe sur \([0,+\infty]\text{,}\) donc
\begin{equation*} \forall x \geq 0, \, y_1(x) \geq y_1'(0)x + y_1(0), \end{equation*}
d’où le résultat cherché puisque \(y_1'(0) \gt 0\text{.}\)

Exercice 3.24.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Soit \(y : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}\) une solution sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) bornée.
  1. Démontrer que \(y'\) possède une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\text{.}\)
  2. Démontrer que nécessairement \(\ell = 0\text{.}\)
Solution.
Soit \(y : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}\) une solution sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) bornée.
  1. La fonction \(y'' = -qy\) est le produit d’une fonction intégrable et d’une fonction bornée sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) Elle est donc, elle aussi, intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On en déduit que
    \begin{equation*} y'(x) = y'(0) - \int_0^x q(t)y(t)dt \underset{x\rightarrow+\infty}{\rightarrow} y'(0) - \int_0^{+\infty} q(t)y(t)dt = \ell. \end{equation*}
  2. Supposons par exemple \(\ell \gt 0\text{.}\) Dans ce cas \(y'\) est positive au voisinage de \(+\infty\) et par intégration des relations de comparaison on obtiendrait
    \begin{equation*} y(x) - y(0) = \int_{0}^{x} y'(t)dt \sim \int_{0}^{x} tdt = \ell \cdot x, \end{equation*}
    \(y\) admettait alors \(+\infty\) comme limite en \(+\infty\text{,}\) ce qui est exclu (on a supposé \(y\) bornée). On traite de même le cas où \(\ell \lt 0\) en remplaçant \(y\) par \(-y\text{.}\)

Exercice 3.25.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.26.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.27.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.28.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.29.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.30.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.31.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.32.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.33.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.34.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.35.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.

Exercice 3.36.

Soit \(q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\) une fonction continue et intégrable sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On lui associe l’équation différentielle
\begin{equation*} (\mathcal{H}) : y'' + qy = 0. \end{equation*}

(a)

Démontrer que \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
Solution.
Supposons que toutes les solutions sur \(\mathbb{R}_+\) de \((\mathcal{H})\) soient bornées.
On note \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\) On considère alors \(W = y_1y_2 - y_2y_1'\) le wronskien du couple \((y_1, y_2)\text{.}\) On vérifie aisément que cette fonction est constante sur \(\mathbb{R}_+\) et non nulle car \((y_1, y_2)\) un système fondamental de solutions de \((\mathcal{H})\) sur \(\mathbb{R}_+\text{.}\)
Or, d’après 1) b),
\begin{equation*} y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x) \rightarrow 0, \end{equation*}
d’où une contradiction.
Conclusion \((\mathcal{H})\) possède au moins une solution sur \(\mathbb{R}_+\) non bornée.
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