\(a\) et \(b\) sont des applications continues définies sur \(I\) à valeurs respectivement dans \(\mathcal L(E)\) et dans \(E\text{.}\) On considère les équations différentielles
\begin{align}
(E)\amp\amp x'\amp=a(t)\cdot x+b(t) \tag{2.1}\\
(H)\amp\amp x'\amp=a(t)\cdot x \tag{2.2}
\end{align}
On appelle équation résolvante de \((H)\text{,}\) l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre
\begin{align}
(RH)\amp\amp u'=a(t)\circ u \tag{2.3}
\end{align}
l’inconnue \(u\) étant une fonction dérivable de \(I\) dans \(\mathcal L(E)\text{.}\)
Espace des solutions de \((RH)\).
\((RH)\) s’écrit sous la forme \(u'=\phi(t)\cdot u\text{,}\) où \(\phi\) est l’application continue de \(I\) dans \(\mathcal L(E)\) définie par \(\phi(t)\cdot v=a(t)\circ v\) pour tout \(t\in I\) et \(v\in\mathcal L(E)\text{.}\)
Si \(u\) est une solution de \((RH)\) sur \(I\) alors
pour tout \(e\in E\text{,}\)\(f:t\longmapsto u(t)\cdot e\) est une solution de \((H)\) sur \(I\text{.}\)
pour tout \(v\in \mathcal L(E)\text{,}\)\(t\longmapsto u(t)\circ v\) est une solution de \((RH)\) sur \(I\text{.}\)
Conservation du rang.
Si \(u\) est une solution de \((RH)\) sur \(I\) alors le rang de \(u(t)\) est le même pour tout \(t\in I\text{.}\) En particulier s’il existe \(t_0\in I\) tel que \(u(t_0)\) est inversible alors \(u(t)\) est inversible pour tout \(t\in I\text{.}\) On dit alors que \(u\) est une solution fondamentale de l’équation résolvante \((RH)\text{.}\)
Solutions de \((RH)\) et \((H)\) en fonction d’une solution fondamentale.
Si \(r\) une solution fondamentale de \((RH)\text{,}\) alors
les solutions de \((RH)\) sont les fonctions \(u:t\longmapsto r(t)\circ v\) où \(v\in\mathcal L(E)\text{.}\)
les solutions de \((H)\) sont les fonctions \(f:t\longmapsto r(t)\cdot e\) où \(e\in E\text{.}\)
Les solutions de \((H)\) et celles de \((RH)\) peuvent donc toutes s’exprimer à l’aide d’une seule solution de \((RH)\text{.}\) Mais ce constat est à peu près inutile quand il s’agit de résoudre effectivement \((H)\text{.}\) Il est beaucoup moins évident de déterminer une solution de \((RH)\) que de déterminer directement des solutions de \((H)\text{.}\)
Si \(\mathcal B=(e_1,\ldots,e_d)\) est une base de \(E\) alors les fonctions \(f_k:t\longmapsto r(t)\cdot e_k\) forment un système fondamental de solutions de \((H)\text{.}\) Leurs wronksien dans la base \(\mathcal B\) est la fonction \(W:t \longmapsto \det\big(r(t)\big)\text{.}\)
d’où le titre de solution fondamentale attribué à ce genre d’application.
Expression des solutions avec conditions initiales.
Si \(t_0\in I\) et \(r\) est l’unique solution de \((RH)\) telle que \(r(t_0)=\id_E\) alors
pour toute solution \(f\) de \((H)\) : \(f(t)=r(t)\cdot f(t_0),\; \forall t\in I\text{.}\)
pour toute solution \(u\) de \((RH)\) : \(u(t)=r(t)\circ u(t_0),\;\forall t\in I\text{.}\)
Sous-section2.1.2Application résolvante de \((H)\)
Définition de l’application résolvante.
On appelle application résolvante de l’équation homogène \((H)\text{,}\) l’application \(R:I\times I\longmapsto \mathcal L(E)\) définie par
où \(r_s\) est l’unique solution de \((RH)\) vérifiant \(r_s(s)=\id_E\text{.}\) Précisons :
pour tout \((t,s)\in I^2\text{,}\)\(R(t,s)\) donne la position dans \(\mathcal L(E)\) à l’instant \(t\) de la solution de \((RH)\) qui est passée, ou passera, par \(\id_E\) à l’instant \(s\text{.}\)
si on fixe \(s\in I\text{,}\) l’application \(t\longmapsto R(t,s)\) donne l’évolution au cours du temps de la solution de \((RH)\) qui est passé, ou passera, par \(\id_E\) à l’instant \(s\text{.}\)
si on fixe \(t\in I\text{,}\) l’application \(s\longmapsto R(t,s)\) est le flot à l’instant \(t\) de toutes les solutions qui sont passées, ou passeront par \(\id_E\) à l’instant \(s\text{.}\)
Une application pour les exprimer toutes.
Soit \(t_0\in I\)
Pour tout \(u_0\in \mathcal L(E)\text{,}\) l’unique solution \(u\) de \((RH)\) telle que \(u(t_0)=u_0\) est donnée par \(u(t)=R(t,t_0)\circ u_0\text{,}\) soit \(u(t)=R(t,t_0)\circ u(t_0)\text{.}\)
pour tout \(x_0\in E\text{,}\) l’unique solution \(f\) de \((H)\) telle que \(f(t_0)=x_0\) est donnée par \(f(t)=R(t,t_0)\cdot x_0\text{,}\) soit \(f(t)=R(t,t_0)\cdot f(t_0)\text{.}\)
Les propriétés de la résolvante.
pour tout \((t,s)\in I^2\text{,}\)\(R(t,s)\) est un endomorphisme inversible de \(E\text{.}\)
pour tout \((t,s,\ell)\in I^3\text{,}\)\(R(t,s)\circ R(s,\ell)=R(t,\ell)\text{.}\) En particulier \(R(t,s)^{-1}=R(s,t)\text{.}\)
\(R\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(I^2\) et pour tout \((t,s)\in I^2\)
Sachant que les solutions de \((H)\) sont les fonctions \(t\longmapsto r(t)\cdot e\) où \(e\) est un vecteur quelconque de \(E\text{,}\) la méthode de la variation des constantes revient donc à faire varier le vecteur \(e\text{.}\) On pose donc \(x(t)=r(t)\cdot e(t)\text{.}\) Alors
Ce qui permet en théorie de calculer \(e'\) et donc \(e\text{.}\)
Formule de Duhammel.
Soit \((t_0,x_0)\in I\times E\text{.}\) L’unique solution \(f\) de \((E)\) vérifiant la condition initiale \(f(t_0)=x_0\) est donnée par la formule dite de Duhammel :
Dans cette expression de \(f(t)\text{,}\) l’intégrale représente une solution particulière de l’équation \((E)\text{,}\) la solution qui à l’instant \(t_0\) passe par le vecteur nul. L’autre partie est la solution de l’équation homogène \((H)\) qui à l’instant \(t_0\) passe par le point \(x_0\text{.}\)
On notera également que cette expression généralise celle de la solution du problème de Cauchy d’une EDL à coefficients constant vue dans Théorème 1.24
Alors selon Exercice 1.4.2 la résolvante de \((H)\) est donnée par
\begin{equation*}
\forall (t,s)\in I^2,\;
R(t,s)=\exp\biggl(\int_{s}^ta(u)\mathrm d u\biggr)
\end{equation*}
Sous-section2.1.4Résolvantes d’une équation à coefficients constants
On suppose ici que l’application \(a\) est constante. L’équation résolvante de \((E)\) est
\begin{align}
(RH)\amp\amp u'\amp=a\circ u \tag{2.8}
\end{align}
Les solutions de \((RH)\) sont les fonctions \(r:t\longmapsto \e^{ta}\circ r_0\) où \(r_0\) est un endomorphisme quelconque de \(E\text{.}\) En particulier, l’application
