Équations différentielles linéaires scalaires, étude générale

Section 1.2 Équations différentielles linéaires scalaires, étude générale

Sous-section 1.2.1 Le cadre général

Conventions et notations 1.25.

\(p\) désignera un entier strictement positif.

On considère des fonctions continues \(a_0, a_1, \ldots, a_{p-1}, \varphi\) de \(I\) dans \(\K\text{.}\)

L’équation différentielle

\begin{align*} (E)\amp\amp x^{(p)} + a_{p-1}(t)x^{(p-1)} + \cdots + a_1(t)x' + a_0(t)x = \varphi(t) \end{align*}

est dite une équation différentielle linéaire scalaire d’ordre \(p\text{.}\) Une solution de \((E)\) sur \(I\) est par définition une fonction \(f: I \to \K\) de classe \(\mathcal{C}^p\) telle que

\begin{equation*} \forall t \in I, \; f^{(p)}(t) + a_{p-1}(t)f^{(p-1)}(t) + \cdots + a_1(t)f'(t) + a_0(t)f(t) = \varphi(t) \end{equation*}

On notera \(S_I(E)\) l’ensemble de ces solutions.
L’équation homogène de \((E)\) est l’équation différentielle

\begin{align*} (H)\amp\amp x^{(p)} + a_{p-1}(t)x^{(p-1)} + \cdots + a_1(t)x' + a_0(t)x = 0 \end{align*}
Soient \(t_0 \in I\) et \(x_0, x_1, \ldots, x_{p-1} \in \K\text{.}\) Une fonction \(f: I \to \K\) est dite une solution sur \(I\) du problème de Cauchy :

\begin{equation*} \begin{cases} x^{(p)} + a_{p-1}(t)x^{(p-1)} + \cdots + a_1(t)x' + a_0(t)x = \varphi(t) \\ x(t_0) = x_0, \; x'(t_0) = x_1, \; \ldots, \; x^{(p-1)}(t_0) = x_{p-1} \end{cases} \end{equation*}

si c’est une solution de \((E)\) sur \(I\) qui vérifie

\begin{equation*} f(t_0) = x_0, \; f'(t_0) = x_1, \; \ldots, \; f^{(p-1)}(t_0) = x_{p-1} \end{equation*}
En posant \(X = {}^t\big(x \; x' \; \cdots \; x^{(p-1)}\big)\text{,}\) l’équation \((E)\) se ramène au système différentiel linéaire du premier ordre :

\begin{align*} (SE) \amp\amp X' \amp= A(t)X + \Phi(t) \end{align*}

\(A(t)\) est une matrice compagne pour tout \(t \in I\text{.}\)

avec

\begin{align*} A(t) \amp = \begin{pmatrix} 0\amp 1\amp 0\amp \cdots\amp 0 \\ \vdots\amp \ddots\amp \ddots\amp \ddots\amp \vdots \\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \ddots\amp 0 \\ 0\amp \cdots\amp \amp 0\amp 1 \\ -a_0(t)\amp -a_1(t)\amp \cdots\amp \amp -a_{p-1}(t) \end{pmatrix}\\ \Phi(t) \amp = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \varphi(t) \end{pmatrix} \end{align*}

On notera \((SH)\) le système homogène de \((S)\text{.}\)

Proposition 1.26.

Une fonction \(f: I \to \K\) de classe \(\mathcal{C}^p\) est une solution de \((E)\) (resp. de \((H)\)) sur \(I\) si et seulement si la fonction \(\mathbf V f: I \to \mathcal{M}_{p,1}(\K)\) définie par

\begin{equation*} \forall t \in I, \; \mathbf V f(t) = {}^t\big(f(t) \; f'(t) \; \cdots \; f^{(p-1)}(t)\big) \end{equation*}

est une solution du système différentiel \((SE)\) (resp. de \((SH)\)) sur \(I\text{.}\)

En outre, l’application

\begin{equation*} \mathbf V: \mathcal{C}^p(I, \K) \to \mathcal{C}^1(I, \mathcal{M}_{p,1}(\K)), \quad f \mapsto \mathbf V f \end{equation*}

induit une bijection de \(S_I(E)\) sur \(S_I(SE)\) (resp. de \(S_I(H)\) sur \(S_I(SH)\)).

Théorème 1.27. Cauchy-Lipschitz.

Pour tout \((t_0, x_0, \ldots, x_{p-1}) \in I \times \K^p\text{,}\) il existe une unique solution \(f\) de \((E)\) sur \(I\) telle que

\begin{equation*} f(t_0) = x_0, \; f'(t_0) = x_1, \; \ldots, \; f^{(p-1)}(t_0) = x_{p-1} \end{equation*}

Corollaire 1.28.

\(S_I(H)\) est un \(\K\)-espace vectoriel de dimension \(p\text{.}\)
\(S_I(E) = f_0 + S_I(H)\) pour toute solution \(f_0\) de \((E)\) sur \(I\text{.}\)

Vocabulaire 1.29.

Soient \(f_1, f_2, \ldots, f_p\) des solutions de l’équation homogène \((H)\text{.}\) Nous dirons que \((f_1, f_2, \ldots, f_p)\) est un système fondamental de solutions de \((H)\) si c’est une base de \(S_I(H)\text{.}\) Nous appellerons wronskien des solutions \(f_1, f_2, \ldots, f_p\text{,}\) le wronskien \(W\) de \((\mathbf V f_1, \mathbf V f_2, \ldots, \mathbf V f_p)\) dans la base canonique de \(\mathcal{M}_{p,1}(\K)\) :

\begin{equation*} \forall t \in I, \; W(t) = \begin{vmatrix} f_1(t)\amp f_2(t)\amp \cdots\amp f_p(t) \\ f_1'(t)\amp f_2'(t)\amp \cdots\amp f_p'(t) \\ \vdots\amp \vdots\amp \amp \vdots \\ f_1^{(p-1)}(t)\amp f_2^{(p-1)}(t)\amp \cdots\amp f_p^{(p-1)}(t) \end{vmatrix} \end{equation*}

Proposition 1.30.

Soient \(f_1, f_2, \ldots, f_p\) des solutions de l’équation homogène \((H)\text{.}\) Soit \(W\) leur wronskien. Grâce à l’isomorphisme induit par \(\mathbf V\text{,}\) les assertions suivantes sont équivalentes :

\((f_1, f_2, \ldots, f_p)\) est un système fondamental de solutions de \((H)\) ;
\((\mathbf V f_1, \mathbf V f_2, \ldots, \mathbf V f_p)\) est un système fondamental de solutions de \((SH)\) ;
\(\forall t \in I, \; W(t) \neq 0\) ;
\(\exists t_0 \in I \; ; \; W(t_0) \neq 0\text{.}\)

Proposition 1.31. Équation du wronksien.

Rappelons l’écriture de l’équation homogène \((H)\) :

\begin{equation*} x^{(p)} + a_{p-1}(t)x^{(p-1)} + \cdots + a_1(t)x' + a_0(t)x = 0 \end{equation*}

Avec les notations de la proposition précédente, l’équation du wronskien donne ici :

\begin{equation*} \forall t \in I, \; W'(t) + a_{p-1}(t)W(t) = 0 \end{equation*}

Proposition 1.32. Variation des constantes.

Rappelons l’écriture de l’équation complète \((E)\) :

\begin{equation*} x^{(p)} + a_{p-1}(t)x^{(p-1)} + \cdots + a_1(t)x' + a_0(t)x = \varphi(t) \end{equation*}

On suppose qu’on connaît un système fondamental \((f_1, f_2, \ldots, f_p)\) de solutions de l’équation homogène \((H)\text{.}\) En posant

\begin{equation*} \mathbf V f(t) = \lambda_1 \mathbf V f_1(t) + \lambda_2 \mathbf V f_2(t) + \cdots + \lambda_p \mathbf V f_p(t) \end{equation*}

on a

\begin{equation*} (E) \Longleftrightarrow \begin{cases} f_1(t)\lambda_1'(t) + f_2(t)\lambda_2'(t) + \cdots + f_p(t)\lambda_p'(t) = 0 \\ f_1'(t)\lambda_1'(t) + f_2'(t)\lambda_2'(t) + \cdots + f_p'(t)\lambda_p'(t) = 0 \\ \vdots \\ f_1^{(p-2)}(t)\lambda_1'(t) + f_2^{(p-2)}(t)\lambda_2'(t) + \cdots + f_p^{(p-2)}(t)\lambda_p'(t) = 0 \\ f_1^{(p-1)}(t)\lambda_1'(t) + f_2^{(p-1)}(t)\lambda_2'(t) + \cdots + f_p^{(p-1)}(t)\lambda_p'(t) = \varphi(t) \end{cases} \end{equation*}

Sous-section 1.2.2 Le cas d’une équation à coefficients constants

Théorème 1.33. Solution d’une EDLS homogène à coefficients constants.

Soient des scalaires \(b_0, b_1, \ldots, b_{p-1} \in \K\text{.}\) On considère l’équation différentielle linéaire scalaire homogène d’ordre \(p\) dite à coefficients constants :

\begin{equation*} x^{(p)} + b_{p-1}x^{(p-1)} + \cdots + b_1 x' + b_0 x = 0 \end{equation*}

On appelle polynôme caractéristique de \((H)\) le polynôme :

\begin{equation*} P = X^p + b_{p-1}X^{p-1} + \cdots + b_1 X + b_0 \end{equation*}

Si \(P\) est scindé sur \(\K\text{,}\) \(P = \prod_{k=1}^r (X - \lambda_k)^{\alpha_k}\) où \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r\) sont les racines distinctes de \(P\text{,}\) alors

\begin{equation*} S_\R(H) = \biggl\{ t \mapsto \sum_{k=1}^r Q_k(t) \e^{\lambda_k t} \giv[\Big] \forall k \in \iic{1, r}, \; Q_k \in \K_{\alpha_k-1}[X] \biggr\} \end{equation*}
Si \(\K = \R\) mais \(P\) n’est pas scindé sur \(\R\) :

\begin{equation*} P = \prod_{k=1}^s (X - \mu_k)^{\beta_k} \prod_{k=1}^r (X - \lambda_k)^{\alpha_k} (X - \overline{\lambda_k})^{\alpha_k} \end{equation*}

où \(\mu_1, \ldots, \mu_s\) sont les racines réelles éventuelles de \(P\) et \(\lambda_1, \ldots, \lambda_r\) ses racines complexes non réelles, alors les solutions réelles de \((H)\) sur \(\R\) sont les fonctions

\begin{equation*} t \mapsto \sum_{k=1}^s Q_k(t) \e^{\mu_k t} + \sum_{k=1}^r \big( U_k(t) \cos(t \im \lambda_k) + V_k(t) \sin(t \im \lambda_k) \big) \e^{t \re \lambda_k} \end{equation*}

Les solutions réelles de \((H)\) sont les parties réelles de ses solutions complexes.
où \(Q_k \in \R_{\beta_k-1}[X]\) et \(U_k, V_k \in \R_{\alpha_k-1}[X]\) sont des polynômes quelconques.

Commentaires sur la démonstration du théorème .

Quelques aspects qui sont à la base de la démonstration du théorème précédent mais qui ont un intérêt intrinsèque

On introduit l’opérateur

\begin{equation*} D: \mathcal{C}^{\infty}(\R, \C) \to \mathcal{C}^{\infty}(\R, \C), \quad f \mapsto f' \end{equation*}

Soit \(\lambda \in \C\text{.}\) La famille formée des fonctions \(f_n: t \mapsto t^n \e^{\lambda t}\) est libre.

Explication.
Il suffit de remarquer que si \(Q(t) \e^{\lambda t} = 0\) pour tout \(t \in \C\text{,}\) \(Q\) étant un polynôme de \(\C[X]\text{,}\) alors \(Q(t) = 0\) pour tout \(t \in \R\text{,}\) soit \(Q = 0\text{.}\)
Soit un polynôme \(P = \sum_{k=0}^p a_k X^k \in \C[X]\) de degré \(p\) donné. Considérons l’EDLS homogène d’ordre \(p\) :

\begin{equation*} a_p x^{(p)} + a_{p-1} x^{(p-1)} + \cdots + a_1 x' + a_0 x = 0 \end{equation*}

Alors \(P\) est un polynôme associé au polynôme caractéristique de \((H)\) et on a

\begin{equation*} S_\R(H) = \ker P(D) \end{equation*}

En particulier, \(\dim \ker P(D) = \deg P\text{.}\)
Si \(P = (X - \lambda)^\alpha\) où \(\lambda \in \C\) et \(\alpha \in \N^*\text{,}\) alors

\begin{equation*} \ker P(D) = \big\{ t \mapsto Q(t) \e^{\lambda t} \mid Q \in \C_{\alpha-1}[X] \big\} \end{equation*}

Explication.
Observons que si \(Q \in \C[X]\) et \(f: t \mapsto Q(t) \e^{\lambda t}\text{,}\) alors

\begin{equation*} (D - \lambda \id) \cdot f(t) = \big( Q'(t) + \lambda Q(t) - \lambda Q(t) \big) \e^{\lambda t} = Q'(t) \e^{\lambda t} \end{equation*}

Et donc pour tout \(k \in \N\text{,}\)

\begin{equation*} (D - \lambda \id)^k \cdot f(t) = Q^{(k)}(t) \e^{\lambda t} \end{equation*}

Si \(\deg Q \lt \alpha\text{,}\) alors \((D - \lambda \id)^\alpha \cdot f = 0\text{.}\)

\(\ker (D - \lambda)^\alpha\) est de dimension \(\alpha\) et il contient les \(\alpha\) fonctions \(t \mapsto t^k \e^{\lambda t}\text{,}\) \(k \in \iic{0, \alpha-1}\text{,}\) qui forment une famille libre. Elles en constituent donc une base. D’où le résultat.
Si \(P\) est scindé sous la forme \(P = a \prod_{k=1}^r (X - \lambda_k)^{\alpha_k}\text{,}\) où \(\lambda_1, \ldots, \lambda_r\) sont deux à deux distincts, alors le résultat précédent et le théorème de décomposition des noyaux impliquent que

\begin{equation*} \ker P(D) = \Big\{ t \mapsto \sum_{k=1}^r Q_k(t) \e^{\lambda_k t} \mid \forall k \in \iic{1, r}, \; Q_k \in \K_{\alpha_k-1}[X] \Big\} \end{equation*}
Une conséquence de ce qui précède : si \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r\) sont des scalaires deux à deux distincts et \(Q_1, Q_2, \ldots, Q_r\) des polynômes quelconques, alors

\begin{equation*} \Big( \forall t \in \R, \; \sum_{k=1}^r Q_k(t) \e^{\lambda_k t} = 0 \Big) \Longrightarrow \forall k \in \iic{1, r}, \; Q_k = 0 \end{equation*}

Proposition 1.34. Solution particulière quand \(\varphi(t) = R(t) \e^{\lambda t}\).

Soient \(P, R \in \C[X]\) et \(\lambda \in \C\text{.}\) Considérons l’EDLS à coefficients constants :

\begin{equation*} P(D) \cdot x = R(t) \e^{\lambda t} \end{equation*}

Alors \((E)\) admet une solution unique de la forme \(f: t \mapsto t^\beta Q(t) \e^{\lambda t}\text{,}\) où \(Q\) est un polynôme de même degré que \(R\) et \(\beta\) est la multiplicité de \(\lambda\) en tant que racine de \(P\) (avec \(\beta = 0\) si \(\lambda\) n’est pas une racine de \(P\)).

Démonstration.

En posant pour l’instant \(f(t) = Q(t) \e^{\lambda t}\text{,}\) alors selon la remarque \(f\) est une solution de \((E)\) si et seulement si

\begin{equation*} \sum_{k=0}^p \frac{P^{(k)}(\lambda)}{k!} Q^{(k)} = R \end{equation*}

Par définition de \(\beta\text{,}\) on a \(P(\lambda) = \cdots = P^{(\beta-1)}(\lambda) = 0\) et \(P^{(\beta)}(\lambda) \neq 0\text{,}\) donc cela équivaut à

\begin{equation*} \sum_{k=\beta}^p \frac{P^{(k)}(\lambda)}{k!} Q^{(k)} = R \end{equation*}

Le polynôme à gauche de cette égalité a le même degré que \(Q^{(\beta)}\text{,}\) soit \(\deg Q - \beta\text{,}\) d’où l’idée de remplacer \(Q\) par \(X^\beta Q\text{.}\) Dans ce cas, \(Q\) serait de même degré que \(R\) et l’égalité précédente équivaudrait à

\begin{equation*} \sum_{k=\beta}^p \frac{P^{(k)}(\lambda)}{k!} (X^\beta Q)^{(k)} = R \end{equation*}

En posant \(r = \deg R\text{,}\) il suffit maintenant de remarquer que l’application

\begin{equation*} \phi: \C_r[X] \to \C_r[X], \quad Q \mapsto \sum_{k=\beta}^p \frac{P^{(k)}(\lambda)}{k!} (X^\beta Q)^{(k)} \end{equation*}

est un endomorphisme de \(\C_r[X]\) qui est injectif car il conserve le degré. C’est donc un isomorphisme de \(\C_r[X]\text{.}\) Il existe donc un unique polynôme \(Q\) de degré \(\leq r\) (et donc \(\deg Q = r\)) qui vérifie l’égalité précédente. La fonction \(f: t \mapsto t^\beta Q(t) \e^{\lambda t}\) est une solution de \((E)\text{.}\)

Exemple 1.35.

Trouver les solutions complexes de l’EDLS : \(x''' - 3x' + 2x = 0\text{.}\)
Trouver les solutions réelles de l’EDLS : \(x^{(4)} - 2x''' + 3x'' + x = 0\text{.}\)

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