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Equations différentielles linéaires: Classes MP/MP*

Sadik Boujaida

Section 2.2 Thèmes sur les équations scalaires du deuxième ordre

Conventions et notations 2.4.

Dans tout cette section, on se donne une EDLS d’ordre \(2\) \((E)\) et son équation homogène \((H)\) qu’on suppose normalisables sur l’intervalle \(I\text{,}\) sauf mention explicite du contraire,
\begin{align} (E)\amp\amp a(t)x'' + b(t)x' + c(t)x \amp= \varphi(t) \tag{2.11}\\ (H)\amp\amp a(t)x'' + b(t)x' + c(t)x \amp= 0 \tag{2.12} \end{align}
On suppose en outre que l’intervalle \(I\) est ouvert.

Sous-section 2.2.1 Solutions développables en séries entières

Commençons par quelque résultats sur la possibilité que l’équation homogène admette des solutions qui sont développables en séries entières au voisinage de \(0\text{.}\) Si de telles solutions existent alors elles peuvent contribuer à résoudre complétement l’équation \((E)\text{.}\)
On suppose que \(0\in I\text{.}\) On peut démontrer les deux résultats fondamentaux suivants :

Démonstration.

Démonstration.

Sous-section 2.2.2 Transformation de l’équation homogène \((H)\)

Tout au long du chapitre précédent, on a utilisé, de façon éparpillée, quelques idées simples pour transformer une EDLS du second ordre. Le but ici est de les rassembler.

Transformations de type \(x=k(t)y\).

Soit une fonction \(k\) de classe \(\mathcal C^2\) qui ne s’annule pas sur \(I\text{.}\) En posant \(x(t)=k(t)y(t)\text{,}\) alors \((H)\) est équivalente à l’équation
\begin{align*} a(t)k(t)y'' + \big(2a(t)k'(t) + b(t)k(t)\big)y' + (a(t)k''(t) + b(t)k'(t) + c(t)k(t)\big)y \amp= 0 \end{align*}
On en a dégagé deux applications intéressantes :
  1. La méthode de Lagrange :
    Si \(k\) est une solution de \((H)\) qui ne s’annule pas sur \(I\text{,}\) alors \((H)\) équivaut à l’EDLS d’ordre \(1\) en \(y'\)
    \begin{equation} a(t)k(t)y'' + \big(2a(t)k'(t) + b(t)k(t)\big)y' = 0\tag{2.16} \end{equation}
    Cette méthode permet de résoudre complètement l’équation \((H)\) par calcul de primitives.
  2. Forme normale de \((H)\) :
    Si \(k\) est une solution non nulle de l’équation \(2a(t)k' + b(t)k = 0\text{,}\) alors on obtient la forme normale de \((H)\) :
    \begin{equation*} y''+p(t)y=0 \end{equation*}
    avec \(a=\ds\frac{ak''+bk'+ck}{ak}\text{.}\)

Forme exacte, équation adjointe.

On suppose que \(a\) est de classe \(\mathcal C^2\) et \(b\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(I\text{.}\)
  1. Transformation en une forme exacte.
    On dit que \((E)\) admet une forme exacte sur \(I\) s’il existe une fonction \(r\) de classe \(\mathcal C^2\) ne s’annulant pas sur \(I\) et une fonction \(s\) de classe \(\mathcal C^1\) telles que \((E)\) soit équivalente à
    \begin{align} (EE) \amp\amp(r(t)x' + s(t)x)' \amp = \psi(t)\tag{2.17} \end{align}
    où \(\psi\) est une fonction continue sur \(I\text{.}\) Si \(r\) et \(s\) existent, l’équation \((EE)\) est dite une forme exacte de \((E)\) sur \(I\text{.}\)
    Une équation exacte peut être résolue par calcul de primitives. Il est donc prévisible que s’y ramener fasse intervenir d’autres équations qu’on ne peut résoudre complètement. En l’occurrence, l’équation \((H^*)\) ci-dessus.
  2. Existence d’une forme exacte, équation adjointe de \((H)\).
    L’équation \((E)\) admet une forme exacte sur \(I\) si l’EDLS homogène
    \begin{align} (H^*) \amp\amp (a(t)y)'' - (b(t)y)' + c(t)y \amp= 0 \tag{2.18} \end{align}
    admet au moins une solution \(\nu\) qui ne s’annule pas sur \(I\text{.}\) Les fonctions \(r\text{,}\) \(s\) et \(\psi\) sont alors données par les relations
    \begin{equation} \begin{aligned} r \amp= a\nu \amp\amp\amp s \amp= b\nu - r' \amp\amp\amp \psi \amp= \varphi\nu \end{aligned}\tag{2.19} \end{equation}
    L’équation \((H^*)\) est dite équation adjointe de \((H)\text{.}\) Une solution de l’équation adjointe \((H^*)\) qui ne s’annule pas sur \(I\) est dite un facteur intégrant de l’équation \((E)\) sur \(I\text{.}\) Si on connaît une telle fonction, on peut effectivement résoudre complètement l’équation \((E)\) par calcul de primitives.
    Démonstration.
    Supposons pour l’instant que les fonctions \(r\) et \(s\) existent, on aura
    \begin{equation} (E) \Longleftrightarrow r(t)x'' + \big(r'(t) + s(t)\big)x' + s'(t)x = \psi(t)\tag{2.20} \end{equation}
    D’un autre côté, si \(\nu\) est une fonction de classe \(\mathcal C^2\) qui ne s’annule pas sur \(I\text{,}\) alors
    \begin{equation} (E) \Longleftrightarrow a(t)\nu(t)x'' + b(t)\nu(t)x' + c(t)\nu(t) = \varphi(t)\nu(t)\tag{2.21} \end{equation}
    Il suffit donc de déterminer des fonctions \(\nu\text{,}\) \(r\) et \(s\) telles que
    \begin{equation} \begin{cases} r = a\nu \\ r' + s = b\nu \\ s' = c\nu \end{cases}\tag{2.22} \end{equation}
    Une condition nécessaire pour que de telles fonctions existent est que :
    \begin{equation} c\nu = s' = (-r' + b\nu)' = -(a\nu)'' + (b\nu)'\tag{2.23} \end{equation}
    La fonction \(\nu\) devrait donc être une solution de l’EDLS homogène d’ordre \(2\) :
    \begin{equation} (a(t)y)'' - (b(t)y)' + cy = 0 \quad (H^*)\tag{2.24} \end{equation}
    Maintenant si \((H^*)\) admet une solution \(\nu\) qui ne s’annule pas sur \(I\text{,}\) il suffit selon les relations ci-dessus de poser \(r = a\nu\text{,}\) \(s = -r' + b\nu\) et \(\psi = \varphi\nu\) pour que \((E)\) soit équivalente à l’équation \((EE)\text{.}\)

L’équation adjointe \((H^*)\).

On rappelle l’écriture de \((H)\) et de son équation adjointe \((H^*)\) :
\begin{equation} \begin{aligned} a(t)x'' + b(t)x' + c(t)x \amp= 0 \quad (H) \\ a(t)y'' + (2a'(t) - b(t))y' + (a''(t) - b'(t) + c(t))y \amp= 0 \quad (H^*) \end{aligned}\tag{2.25} \end{equation}
On vérifie que :
  1. L’équation adjointe de \((H^*)\) est \((H)\text{.}\)
  2. Les équations \((H)\) et \((H^*)\) sont équivalentes si et seulement si \(a' = b\text{.}\) Ce qui ramène l’équation \((H)\) à
    \begin{equation} (a(t)x')' + c(t)x = 0\tag{2.26} \end{equation}
    D’où le titre d’équation auto-adjointe donné à ce genre d’équations.
  3. Lien entre solutions de \((H)\) et celles de son équation adjointe \((H^*)\).
    Les solutions de \((H^*)\) sont de la forme \(g = \sigma f\) où \(f\) est une solution quelconque de \((H)\) et \(\sigma\) est l’une des solutions non nulles de l’EDLS homogène d’ordre \(1\) :
    \begin{equation} (a(t)\sigma)' = b(t)\sigma\tag{2.27} \end{equation}
    Ce qui implique que si on peut résoudre \((H^*)\text{,}\) alors on peut le faire pour \((H)\) et vice versa.
    Explication.
    Fixons une fonction non nulle \(\sigma\) telle que \((a\sigma)' = b\sigma\) et considérons une fonction \(x\) de classe \(\mathcal C^2\) sur \(I\text{.}\) Posons \(y = \sigma x\text{.}\) Alors
    \begin{equation} \begin{aligned} (H^*) \amp \Longleftrightarrow (ay)'' - (by)' + cy = 0 \\ \amp\Longleftrightarrow (a\sigma x)'' - (b\sigma x)' + c\sigma x = 0 \\ \amp\Longleftrightarrow (a\sigma)x'' + 2(a\sigma)'x' + (a\sigma)''x - (b\sigma)x' - (b\sigma)'x + c\sigma x = 0 \\ \amp\Longleftrightarrow a\sigma x'' + b\sigma x' + c\sigma x = 0 \quad (\text{car } (a\sigma)' = b\sigma) \\ \amp\Longleftrightarrow ax'' + bx' + cx = 0 \end{aligned}\tag{2.28} \end{equation}
    En multipliant \((H)\) par \(\sigma(t)\text{,}\) elle équivaut à l’équation auto-adjointe
    \begin{equation} (a(t)\sigma(t)x')' + c(t)\sigma(t)x = 0 \quad (HA)\tag{2.29} \end{equation}

Sous-section 2.2.3 Problèmes aux limites

Soient deux éléments \(\alpha\lt \beta\) de \(I\text{.}\) On se donne deux scalaires \(A\) et \(B\) et deux formes linéaires \(\ell_1\) et \(\ell_2\) définies sur \(\mathcal C^2(I,\K)\) par
\begin{equation} \begin{aligned} \ell_1(f) \amp= a_0 f(\alpha) + a_1 f'(\alpha) + b_0f(\beta) + b_1 f'(\beta) \\ \ell_2(f) \amp= c_0 f(\alpha) + c_1 f'(\alpha) + d_0f(\beta) + d_1 f'(\beta) \end{aligned}\tag{2.30} \end{equation}
où \((a_0,a_1,b_0,b_1)\) et \((c_0,c_1,d_0,d_1)\) sont deux éléments donnés non colinéaires de \(\K^4\text{.}\)
Le système d’équations
\begin{equation} \begin{cases} a(t)x'' + b(t)x' + c(t)x = \varphi(t) \\ \ell_1(x) = A, \; \ell_2(x) = B \end{cases} \tag{2.31} \end{equation}
est dit un problème aux limites de \((E)\) en \(\alpha\) et \(\beta\text{.}\) Il peut avoir l’une des formes particulières suivantes :
  1. Problème aux limites de première espèce :
    \begin{equation} \begin{cases} x(\alpha) = A \\ x(\beta) = B \end{cases} \tag{2.32} \end{equation}
  2. Problème aux limites de deuxième espèce :
    \begin{equation} \begin{cases} x(\alpha) = A \\ x'(\beta) = B \end{cases} \tag{2.33} \end{equation}
  3. Problème aux limites périodique :
    \begin{equation} \begin{cases} x(\alpha) = x(\beta) \\ x'(\alpha) = x'(\beta) \end{cases} \tag{2.34} \end{equation}
  4. Problème de Sturm-Liouville :
    \begin{equation} \begin{cases} a_0x(\alpha) + a_1x'(\alpha) = A \\ d_0x(\beta) + d_1x'(\beta) = B \end{cases} \tag{2.35} \end{equation}
Contrairement aux problèmes de Cauchy, un problème aux limites peut avoir plusieurs solutions comme n’en avoir aucune.

Démonstration.

Soit \(g\) une solution particulière de \((E)\) et posons \(f = g + \lambda_0 f_0 + \lambda_1 f_1\text{.}\) On a alors
\begin{equation} \begin{cases} \ell_1(f) = A \\ \ell_2(f) = B \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \lambda_0\ell_1(f_0) + \lambda_1\ell_1(f_1) = A - \ell_1(g) \\ \lambda_0\ell_2(f_0) + \lambda_1\ell_2(f_1) = B - \ell_2(g) \end{cases}\tag{2.37} \end{equation}
Ce dernier système d’équations, d’inconnues \(\lambda_0\) et \(\lambda_1\text{,}\) admet une solution unique si et seulement si \(\Delta(f_0,f_1) \ne 0\text{.}\)

Sous-section 2.2.4 Zéros des solutions d’une EDLS homogène du second ordre

Ce thème sera traité de façon assez exhaustive vu son intérêt. Il concerne la distribution des zéros des solutions d’une EDLS homogène d’ordre \(2\text{.}\)

Sous-sous-section Le cas général

Zéros communs.
Démonstration.
Si \(f\) et \(g\) sont deux solutions de \((H)\) sur \(I\) qui ont un zéro \(t_0\) en commun et \(w\) est leur wronksien, alors \(w(t_0) = 0\) et donc \(f\) et \(g\) sont colinéaires.
Répartition des zéros des solutions de \((H)\) dans le cas général.
Démonstration.
Soit un segment \(J \subset I\text{.}\) Supposons par l’absurde que \(f\) admet une infinité de zéros dans \(J\) et considérons une suite injective \((t_n)_n\) dont tous les termes sont des zéros de \(f\) dans \(J\text{.}\) \(J\) étant un segment, \((t_n)\) admet une suite extraite qui converge, on peut donc supposer que \((t_n)\) elle-même converge. Soit \(t\) sa limite. Puisque \(f(t_n) = 0\) pour tout \(n \in \N\text{,}\) alors par continuité de \(f\) on a \(f(t) = 0\text{.}\) Ensuite
\begin{equation} f'(t) = \lim \frac{f(t_n) - f(t)}{t_n - t} = 0\tag{2.38} \end{equation}
Par unicité de la solution de \((H)\) telle que \(f(t) = 0\) et \(f'(t) = 0\text{,}\) la fonction \(f\) serait donc nulle sur \(I\text{.}\) Ce qui contredit l’hypothèse faite sur \(f\text{.}\)
Alors \(f\) admet au plus un nombre fini de zéros dans \(J\text{.}\)
Théorème principal.
Démonstration.
Les zéros \(t_1\) et \(t_2\) étant successifs, \(f\) ne s’annule pas sur l’intervalle \(]t_1, t_2[\text{.}\) Elle y garde donc un signe constant. Quitte à remplacer \(f\) par \(-f\text{,}\) on peut supposer que \(f(t) \gt 0\) pour tout \(t \in ]t_1, t_2[\text{.}\) Par ailleurs, \(f'\) ne peut s’annuler en \(t_1\) ou en \(t_2\) car sinon \(f\) serait partout nulle donc
\begin{equation} \begin{aligned} f'(t_1) \amp = \lim_{t \to t_1^+} \frac{f(t)}{t - t_1} \gt 0 \amp \amp \amp f'(t_2) \amp = \lim_{t \to t_2^-} \frac{f(t)}{t - t_2} \lt 0 \end{aligned}\tag{2.39} \end{equation}
Soit \(w\) le wronksien de \(f\) et \(g\text{.}\) On a
\begin{equation} \begin{aligned} w(t_1) \amp = -f'(t_1)g(t_1) \amp \amp \amp w(t_2) \amp = -f'(t_2)g(t_2) \end{aligned}\tag{2.40} \end{equation}
Comme \(w\) ne s’annule pas sur \(I\text{,}\) elle y garde un signe constant et donc \(g(t_1)g(t_2) \lt 0\text{.}\) D’après le TVI, \(g\) admet au moins un zéro dans \(]t_1, t_2[\text{.}\) Ce zéro est nécessairement unique car sinon, le résultat qu’on vient de démontrer impliquera l’existence d’un zéro de \(f\) dans \(]t_1, t_2[\text{.}\)
On en déduit que si \((H)\) admet une solution non nulle qui admet une infinité de zéros dans \(I\) alors c’est le cas pour toutes les solutions de \(H\text{.}\)

Sous-sous-section Cas d’une équation normale

On considère dans la suite deux EDLS homogènes normales sur \(I\)
\begin{equation} \begin{aligned} x'' + p(t)x \amp = 0 \quad (H_p) \\ x'' + q(t)x \amp = 0 \quad (H_q) \end{aligned}\tag{2.41} \end{equation}
Démonstration.
Soit \(f\) une solution non nulle de \((H_q)\) et supposons qu’elle admet au moins deux zéros dans \(I\text{.}\) Soient \(t_1\) et \(t_2\) deux zéros consécutifs de \(f\text{.}\) Si par exemple \(f(t) \gt 0\) sur \(]t_1, t_2[\text{,}\) alors \(f''(t) = -q(t)f(t) \geq 0\) et \(f''\) n’est partout nulle sur aucun un segment de \(]t_1, t_2[\text{.}\) La fonction \(f'\) est donc strictement croissante sur \(I\text{.}\) C’est impossible car on a forcément \(f'(t_1) \gt 0\) et \(f'(t_2) \lt 0\text{.}\)
Démonstration.
Soit \(f\) une solution non nulle de \((H_p)\text{.}\) Supposons que \(f\) admet un nombre fini de zéros dans \(I\text{.}\) Il existe donc \(t_0 \in I\) tel que \(f(t) \ne 0\) sur \(I_1 = [t_0, +\infty[\text{.}\) Quitte à remplacer \(f\) par \(-f\text{,}\) on peut supposer que \(f(t) \gt 0\) sur \(I_1\text{.}\)
Comme \(f''(t) = -p(t)f(t) \leq 0\text{,}\) alors \(f\) est concave sur \(I_1\) et donc pour tout \(a \in I_1\text{,}\) on a
\begin{equation} \forall t \geq t_0, f(t) \leq f(a) + f'(a)(t - a)\tag{2.42} \end{equation}
Et on voit ainsi qu’il suffit qu’il existe \(a \geq t_0\) tel que \(f'(a) \lt 0\) pour avoir \(\lim_{+\infty} f = -\infty\text{,}\) contredisant ainsi la stricte positivité de \(f\) sur \(I_1\text{.}\)
Introduisons maintenant la fonction \(g\) définie pour tout \(t \in I_1\) par
\begin{equation} g(t) = -\frac{f'(t)}{f(t)}\tag{2.43} \end{equation}
\(g\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(I_1\) et pour tout \(t \in I_1\)
\begin{equation} g'(t) = -\frac{f''(t)}{f(t)} + \frac{f'(t)^2}{f(t)^2} = p(t) + g(t)^2 \geq p(t)\tag{2.44} \end{equation}
Par suite
\begin{equation} g(t) \geq g(t_0) + \int_{t_0}^t p(s) \mathrm{d} s\tag{2.45} \end{equation}
\(p\) est positive non intégrable sur \([t_0, +\infty[\) donc \(\lim_\beta g = +\infty\text{.}\) Il existe donc \(a \geq t_0\) tel que \(g(t) \gt 0\) sur \([a, +\infty[\text{.}\) On en déduit que \(f'(t) \lt 0\) sur \([a, +\infty[\) tout entier. Ce qui achève la démonstration.
Démonstration.
Soient \(t_1, t_2\) deux zéros successifs de \(f\) dans \(I\text{.}\) Soit \(g\) une solution de \((H_q)\) sur \(I\text{.}\) Soit \(w\) le wronksien croisé de \(f\) et \(g\text{.}\) Alors
\begin{equation} w'(t) = \big(p(t) - q(t)\big)f(t)g(t)\tag{2.46} \end{equation}
Comme \(w(t_1) = -f'(t_1)g(t_1)\) et \(w(t_2) = -f'(t_2)g(t_2)\text{,}\) en intégrant cette relation entre \(t_1\) et \(t_2\) on obtient
\begin{equation} f'(t_2)g(t_2) - f'(t_1)g(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} \big(q(s) - p(s)\big)f(s)g(s) \mathrm{d} s\tag{2.47} \end{equation}
Comme pour le résultat précédent, on peut supposer que \(f(t) \gt 0\) sur \(]t_1, t_2[\text{,}\) ce qui implique en outre que \(f'(t_1) \gt 0\) et \(f'(t_2) \lt 0\text{.}\) En analysant les signes des deux membres de l’égalité précédente on voit que \(g\) ne peut garder un signe constant sur \([t_1, t_2]\text{.}\) Elle admet donc au moins un zéro dans \([t_1, t_2]\text{.}\)
On en déduit que si \((H_p)\) admet une solution non nulle qui possède une infinité de zéros dans \(I\) alors c’est le cas de toutes les solutions de \((H_q)\text{.}\)
Exemple 2.14. Un exemple intéressant.
Soit \(a \in \R\text{.}\) Considérons l’EDLS d’ordre \(2\) à coefficients constants
\begin{equation} x'' + a x = 0 \quad (HC)\tag{2.48} \end{equation}
Transformons la en une équation de Cauchy-Euler sur \(]0, +\infty[\) (\(x(t) = y(\e^t)\)) :
\begin{equation} t^2 y'' + t y' + a y = 0\tag{2.49} \end{equation}
Et ramenons-nous à la forme normale de celle-ci sur \(]0, +\infty[\) (\(y = \frac{z}{\sqrt t}\)) :
\begin{equation} z'' + \frac{1 + 4a}{4t^2} z = 0\tag{2.50} \end{equation}
ou encore, en posant \(c = \frac{1}{4} + a\text{,}\)
\begin{equation} z'' + \frac{c}{t^2} z = 0 \quad (HN)\tag{2.51} \end{equation}
Au final on aurait effectué le changement mixte \(x(t) = \e^{-t/2} z(\e^t)\text{.}\)
On en déduit les résultats suivants :
  1. Si \(c \gt \frac{1}{4}\text{,}\) les solutions de \((HN)\) ont toutes une infinité de zéros dans \(]0, +\infty[\text{.}\)
  2. Si \(c \leq \frac{1}{4}\text{,}\) toute solution non nulle de \((HN)\) admet au plus un zéro dans \(]0, +\infty[\text{.}\)
Solution.
Toute solution de \((HN)\) sur \(]0, +\infty[\) s’écrit sous la forme \(g(t) = \frac{f(\ln t)}{\sqrt t}\) où \(f\) est une solution de \((HC)\text{.}\) Les zéros de \(g\) dans \(]0, +\infty[\) sont donc les réels \(\e^{t}\) où \(t\) est un zéro de \(f\) dans \(\R\text{.}\)
Les solutions de \((HC)\) sont de la forme \(f(t) = A \sin(\sqrt a t + \varphi)\) si \(a \gt 0\text{,}\) \(f(t) = A \sinh(t \sqrt{-a} + \varphi)\) si \(a \lt 0\) et \(f(t) = A t + B\) si \(a = 0\text{.}\) D’où le résultat.
Remarque 2.15.
Cet exemple montre en particulier que l’hypothèse de non intégrabilité de \(p\) dans n’est pas nécessaire pour que les solutions de l’équation normale \(x'' + p(t)x = 0\) admettent chacune une infinité de zéros.
Grâce au théorème de comparaison de Sturm, on en déduit aussi que si \(I\) est non majoré alors
  1. si \(4t^2 p(t) \leq 1\) au voisinage de \(+\infty\text{,}\) alors les solutions non nulles de \(x'' + p(t)x = 0\) ont chacune au plus un zéro dans \(I\text{.}\)
  2. s’il existe \(c \gt \frac{1}{4}\) tel que \(t^2 p(t) \geq c\) au voisinage de \(+\infty\text{,}\) alors les solutions de \(x'' + p(t)x = 0\) ont chacune une infinité de zéros dans \(I\text{.}\)

Sous-sous-section Cas d’une équation auto-adjointe et déductions sur le cas général

Supposons que l’équation \((H)\) est normalisée :
\begin{equation} x'' + b(t)x' + c(t)x = 0 \quad (H)\tag{2.52} \end{equation}
On la transforme en une équation normale en posant \(x = k(t)y\) :
\begin{equation} y'' + p(t)y = 0 \quad (HN)\tag{2.53} \end{equation}
où \(k \gt 0\) est une solution de \(2k' + b(t)k = 0\) et \(p = c - \frac{b^2}{4} - \frac{b'}{2}\text{.}\) On la transforme aussi en une équation auto-adjointe :
\begin{equation} (\sigma(t)x')' + q(t)x = 0 \quad (HA)\tag{2.54} \end{equation}
où \(\sigma \gt 0\) est une solution de \(\sigma' - b(t)\sigma = 0\) et \(q = c \sigma\text{.}\)
Si \(B\) est une primitive de \(b\) sur \(I\text{,}\) on peut prendre
\begin{equation} \begin{aligned} k(t) \amp= \e^{-B(t)/2} \amp \amp \amp \sigma(t) \amp = \e^{B(t)} \end{aligned}\tag{2.55} \end{equation}
Puisque \(x = k y\text{,}\) alors les zéros de \(x\) sont exactement ceux de \(y\) et on pourrait donc exploiter les résultats énoncés pour les équations normales pour étudier les zéros des solutions de \((H)\text{.}\) L’inconvénient est que les propriétés de la fonction \(p\text{,}\) son signe surtout, ne sont pas facilement déductibles de celles de \(b\) et de \(c\text{.}\) Par contre \((H)\) et \((HA)\) ont les mêmes solutions, la fonction \(\sigma\) est strictement positive et la fonction \(q\) a partout le même signe que la fonction \(c\text{.}\) Avoir des résultats spécifiques aux équations auto-adjointes présente donc un avantage certain.
Démonstration.
Soit \(f\) une solution de \((H)\text{.}\) Supposons par l’absurde qu’elle admet un nombre fini de zéros dans \(I\text{.}\) Il existe alors \(t_0 \in I\) tel que \(f\) ne s’annule pas sur \(I_1 = [t_0, +\infty[\) et on peut supposer que \(f(t) \gt 0\) sur \(I_1\text{.}\)
Comme pour le théorème on introduit la fonction \(g\text{,}\) \(\mathcal C^1\) sur \(I_1\text{,}\) définie par :
\begin{equation} g(t) = -\sigma(t) \frac{f'(t)}{f(t)}\tag{2.56} \end{equation}
On a alors
\begin{equation} g'(t) = -\frac{1}{f(t)} \frac{\mathrm d}{\mathrm{d} t} (\sigma'(t)f(t)) + \sigma(t) \frac{f'(t)^2}{f(t)^2} = q(t) + \frac{g(t)^2}{\sigma(t)}\tag{2.57} \end{equation}
Par suite
\begin{equation} g(t) \geq g(t_0) + \int_{t_0}^t q(s) \mathrm{d} s + \int_{t_0}^t \frac{g(s)^2}{\sigma(s)} \mathrm{d} s\tag{2.58} \end{equation}
Puisque \(q\) est non intégrable sur \(I_1\text{,}\) alors \(g(t_0) + \int_{t_0}^t q(s) \mathrm{d} s \xrightarrow[t \to +\infty]{} +\infty\) et donc il existe \(a \geq t_0\) tel que
\begin{equation} \forall t \geq a, \int_{t_0}^{t} \frac{g(s)^2}{\sigma(s)} \mathrm{d} s \leq g(t)\tag{2.59} \end{equation}
Une situation à la Gromwall donc.
Si on pose maintenant \(u(t) = \int_{t_0}^{t} \frac{g(s)^2}{\sigma(s)} \mathrm{d} s\text{,}\) alors \(u\) est une fonction \(\mathcal C^1\) strictement positive et on a pour tout \(t \geq a\) :
\begin{equation} u'(t) = \frac{g(t)^2}{\sigma(t)} \geq \frac{u(t)^2}{\sigma(t)}\tag{2.60} \end{equation}
et donc
\begin{equation} \frac{1}{\sigma(t)} \leq \frac{u'(t)}{u(t)^2}\tag{2.61} \end{equation}
par suite
\begin{equation} \int_{a}^{t} \frac{\mathrm{d} s}{\sigma(s)} \leq \frac{1}{u(a)} - \frac{1}{u(t)} \leq \frac{1}{u(a)}\tag{2.62} \end{equation}
Ce qui est impossible car cela impliquerait que la fonction \(\frac{1}{\sigma}\) est intégrable sur \([a, +\infty[\) et donc sur \([\alpha, +\infty[\text{.}\) Ainsi \(f\) admet une infinité de zéros dans \(I\text{.}\)
Remarque 2.17.
On peut alléger les conditions sur \(q\) en supposant que \(\int_{\alpha}^t q(s) \mathrm{d} s \xrightarrow[t \to +\infty]{} +\infty\) seulement, sans aucune obligation sur son signe.
\(\frac{1}{\sigma(t)} = \e^{-B(t)}\) et \(q(t) = c(t) \e^{-B(t)/2}\) où \(B\) est une primitive de \(b\) sur \(I\text{.}\) Les hypothèses du théorème sont donc immédiatement vérifiables sur les coefficients \(b\) et \(c\) de l’équation originale \((H)\text{.}\)

Sous-section 2.2.5 Solutions périodique d’une EDLS du second ordre périodique

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